高考数学”一本“培养优选练 中档大题规范练2 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

中档大题规范练(二)(建议用时：60分钟)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA＝(2c－a)cosB.(1)求B；(2)若b＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解](1)由bcosA＝(2c－a)cosB，得2ccosB＝bcosA＋acosB.由正弦定理可得2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinC，因为sinC≠0，所以cosB＝.因为0＜B＜π，所以B＝.(2)因为S△ABC＝acsinB＝，所以ac＝4.又13＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，所以a2＋c2＝17，所以a＋c＝5，故△ABC的周长为5＋.(教师备选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设anan＋1＝λSn－1，知an＋1an＋2＝λSn＋1－1.两式相减得，an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)存在．由a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得，{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝1＋(n－1)·4＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝3＋(n－1)·4＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得{an}为等差数列．2．如图63，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝2，现将△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在线段AB上．(1)证明：AP⊥PB；(2)求三棱锥PEBC的表面积．图63[解](1)由题知PE⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴PE⊥BC；又AB⊥BC且AB∩PE＝E，∴BC⊥平面PAB；又AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP；又AP⊥CP且BC∩CP＝C，∴AP⊥平面PBC；又PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB.(2)在△PAB中，由(1)得AP⊥PB，AB＝4，AP＝2，∴PB＝2，PE＝＝，∴BE＝3，∴S△PEB＝×3×＝.在△EBC中，EB＝3，BC＝2，∴S△EBC＝×3×2＝3，在△PEC中，EC＝＝，∴S△PEC＝××＝，∴S△PBC＝BC·PB＝×2＝2，所以三棱锥PEBC的表面积为S＝S△PEB＋S△EBC＋S△PEC＋S△PBC＝＋3＋＋2＝.3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)已知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3还喜欢打羽毛球，B1，B2，B3还喜欢打乒乓球，C1，C2还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1位进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050(2)有，理由： K2＝≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(3)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1位，其一切可能的结果组成的基本事件如下：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3,C1)，(A3，B3，C2)，基本事件的总数为18，用M表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个基本事件组成，所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得P(M)＝1－P()＝1－＝.(教师备选)如图所示，一个正三棱锥ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，过B作与侧棱AC，AD相交的截面BEF.求：(1)截面三角形周长的最小值；(2)截面三角形周长最小时的面积．[解](1)如图①所示，若使截面三角形的周长最小，则将三棱锥的侧面展开后，使三角形的三边在一条直线上．图①在图中，△ABB′为等腰三角形，故△ABE≌△AB′F，∴AE＝AF，∴△AEF为等腰三角形，又ABCD为正三棱锥，∴EF∥CD，∴...