11.2平面的基本事实与推论关键能力·素养形成类型一符号语言与图形语言间的转化【典例】1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为()A.A∈α,a⊂α,A∉aB.A∈α,a∈α,A∉aC.A⊂α,a⊂α,A∉aD.A∈α,a⊂α,A⊄a2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是()3.如图所示,根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.(3)点A1与平面AC.(4)直线AB与直线BC.(5)直线AB与平面AC.(6)平面A1B与平面AC.世纪【思维·引】1.依据符号语言即可表示.2.注意被遮挡的线画成虚线.3.判断点、直线和平面的位置关系,选择恰当的数学符号表示出来.【解析】1.选A.点与线、面的关系用∈、∉;线与面的关系用⊂、⊄.B项中,“a∈α”错;C项中“A⊂α”错;D项中“A⊄a”错.2.选D.画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示,只有D画法正确.3.(1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点A1∉平面AC.(4)直线AB∩直线BC=点B.(5)直线AB⊂平面AC.(6)平面A1B∩平面AC=直线AB.【内化·悟】在用符号表示点、线、面之间的关系时,如何区别“∈”与“⊂”?提示:可借助集合的观点区分“∈”与“⊂”.点与直线(或平面)的位置关系,用“∈”或“∉”表示;直线与平面的位置关系,用“⊂”或“⊄”表示;直线与直线相交、平面与平面相交要类比集合与集合交集说明交点或交线.【类题·通】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.【习练·破】1.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α【解析】选D.显然题干图中α∥β,且l⊂α.2.如图所示,用符号语言表示以下各概念:①点A,B在直线a上________;②直线a在平面α内________;③点D在直线b上,点C在平面α内________.【解析】根据点、线、面位置关系及其表示方法可知:①A∈a,B∈a,②a⊂α,③D∈b,C∈α.答案:①A∈a,B∈a②a⊂α③D∈b,C∈α【加练·固】如图所示,下列说法正确的是()A.可以表示a在α内B.把平面α延展就可以表示a在平面内C.因为直线是无限延伸的,所以可以表示直线a在平面α内D.不可以表示直线a在平面α内,因为画法不对【解析】选D.当直线a在α内时,直线应该画在平面内,所以选项A错误;平面可以用平行四边形表示,所以选项B错误;虽然直线是无限延展的,但画直线时,经常画成一条线段,所以选项C错误;不可以表示直线a在平面α内,因为画法不对,所以选项D正确.类型二点线的共面问题【典例】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.世纪【思维·引】用纳入法证明,即先由两条相交直线确定一个面,再证第三条直线在这个平面内.【证明】已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:方法一:因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2⊂α,所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内.方法二:因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.【内化·悟】判断点、直线共面的依据有哪些?提示:判断点、直线共面的依据主要是3个基本事实与3个推论.【类题·通】证明点、线共面的两种常用方法(1)纳入法:先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内.(2)重合法:先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合.【习练·破】1.空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是()A.1B.2C.3D.1或3【解析】选D.若三条直线两两相交共有三个交点,则确定1个平面;若三条直线两两相交且交于同一点时,若三条直线共面,则能确定1个平面,若三条直线不共面,则能确定3个平...
