7.2柱、锥、台的体积课后篇巩固探究1.将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱,则该四棱柱的高为()A.8cmB.80cmC.40cmD.165cm解析设正四棱柱的高为hcm,依题意得5×5×h=2×103,解得h=80(cm).答案B2.一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为()A.12B.32C.1D.13解析设棱锥为四棱锥,其底面为直角梯形,面积S=12(1+2)×1=32,该四棱锥的高即为主视图的高,即h=1,于是它的体积V=13×32×1=12.答案A3.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2π+2√3B.4π+2√31C.2π+2√33D.4π+2√33解析该几何体是组合体,下面是底面直径为2、高为2的圆柱,上面是底面边长为√2,侧棱长为2的正四棱锥,该正四棱锥的高为√3,所以该几何体的体积为2π+13×(√2)2×√3=2π+2√33.答案C4.(2018全国Ⅱ卷,文16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8.则该圆锥的体积为.解析∵SA⊥SB,∴S△SAB=12·SA·SB=8.∴SA=4.过点S连接底面圆心O,则∠SAO=30°.∴SO=2,OA=2√3.∴V=13πr2h=13×π×(2√3)2×2=8π.答案8π5.已知圆台的母线长为13cm,两底面面积分别为4πcm2和49πcm2,则该圆台的体积为.解析如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,由上、下底面面积分别为4πcm2,49πcm2得,上底半径O1A=2cm,下底半径OB=7cm,又因为腰长为13cm,所以圆台的高AM=√132-(7-2)2=12(cm),所以圆台的体积V台=13(S上+√S上·S下+S下)h=13(4π+√4π·49π+49π)×12=268π(cm3).答案268πcm36.2在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为10,则AA1=.解析由题意知VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1−VB-A1B1C1=2×2·AA1-13×12×2×2·AA1=103·AA1=10,∴AA1=3.答案37.已知一个正三棱锥的主视图为等腰直角三角形,其尺寸如图所示,则此正三棱锥的体积为,其左视图的周长为.解析由三棱锥的主视图可知正三棱锥的底面边长为6,三棱锥的高为3,所以三棱锥底面上的高为√36-9=3√3,斜高为√9+3=2√3,侧棱长为√9+12=√21,所以正三棱锥的体积为13×√34×36×3=9√3,左视图的周长为3√3+2√3+√21=5√3+√21.答案9√35√3+√218.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积分别为V1,V2的两部分,若三棱台AEF-A1B1C1的体积为V1,则V1∶V2=.解析设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AB,AC的中点,所以S△AEF=14S,V1=13h(S+14S+√S·S4)=712Sh,V2=Sh-V1=512Sh,故V1∶V2=7∶5.答案7∶59.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.3(1)求V1,V2以及V1∶V2;(2)求A到平面A1BD的距离d.解(1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形,其面积S=12×AB×AD=12a2.底面ABD上的高为h=AA1=a.所以其体积V1=13Sh=13×12a2×a=16a3.正方体的体积V=a3,所以V2=V-V1=a3-16a3=56a3.所以V1∶V2=1∶5.(2)三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体.在△A1BD中,A1B=BD=A1D=√2a,取BD的中点H,连接AH,则AH⊥BD,BH=HD=12BD=√22a,所以AH=√AB2-BH2=√(√2a)2-(√22a)2=√62a.其面积S2=12BD·A1H=12×√2a×√62a=√32a2.∵VA1-ABD=VA-A1BD,即16a3=13S2·d,所以16a3=13×√32a2×d,解得d=√33a,即A到平面A1BD的距离为√33a.10.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,∠APD=90°.(1)求证:平面PAB⊥平面PCD;(2)若AB=BC=2,PB=PC=√6,求四棱锥P-ABCD的体积.(1)证明因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形,所以CD⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⫋平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.4所以CD⊥PA.又∠APD=90°,即PA⊥PD,而CD∩PD=D,所以PA⊥平面PCD.因为PA⫋平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.(2)解作PO⊥AD,垂足为O,则PO⊥平面ABCD.连接OB,OC,则PO⊥OB,PO⊥OC,因为PB=PC,所以Rt△POB≌Rt△POC,所以OB=OC.依题意,四边形ABCD是边长为2的正方形,由此知O是AD的中点.在Rt△OAB中,AB=2,OA=1,则OB=√5,在Rt△OPB中,PB=√6,OB=√5,则PO=1,故四棱锥P-ABCD的体积V=13AB2·PO=43.5
