第6讲抛物线一、选择题1．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝()A.B.C．－D．－解析根据分析把抛物线方程化为x2＝－2y，则焦参数p＝－a，故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－.答案D2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝()A.B．1C．2D．3解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．答案C3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()．A.B.C．－D．－解析由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA|＝5，|FB|＝2，FA·FB＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.答案D4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()．A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y解析 －＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.答案D5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()．A．18B．24C．36D．48解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)． 当x＝时，|y|＝p，∴p＝＝＝6.又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36.答案C6．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()．A.B.C．2D.－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.1答案D二、填空题7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝.答案9．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．INCLUDEPICTURE"\\\\程亚杰\\e\\程亚杰\\2017\\一轮\\数学\\数学人A版成盘\\理\\另附1套Word版题库\\第九章解析几何\\S491.TIF"\*MERGEFORMATINET解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．答案210．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.解析设过抛物线焦点的直线为y＝k，联立得，整理得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得，k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得，12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋＝.答案三、解答题11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．解(1)由e＝＝＝，得＝.又由原点到直线y＝x＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b＝，则a＝.(2)法一由c＝＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，则P(1，y)．2由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的轨迹方程为y2＝－4x，该曲线为抛物线．法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.12．已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0...
