高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做10 函数与导数：存在、恒成立与最值问题 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

大题精做10函数与导数：存在、恒成立与最值问题[2019·广州一模]已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证．【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析．【解析】（1）当时，，的定义域是，，当时，；当时，．所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：由（1）得的定义域是，，令，则，在上单调递增，因为，所以，，故存在，使得．当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故时，取得最小值，即，由，得，令，，则，elnxfxxaxxeafx0afxm1mfx0,11,eaeelnxfxxxxfx0,111ee1eexxxfxxxxx01x0fx1x0fxfx0,11,fx0,1exxfxxaxexgxxa1e0xgxxgx0,0a00gae0agaaaaa00,xa000e0xgxxa00,xx0gx1e0xxfxxaxfx0,xx0gx1e0xxfxxaxfx0xxfx00000elnxmfxxaxx00e0xxa0000enlnelxxmxaxaaa0xalnhxxxx11lnlnhxxx当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即时，取最大值1，．1．[2019·青海联考]已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围．2．[2019·咸阳模拟]设函数，．（1）当时，求的单调区间；0,1xln0hxxlnhxxxx1,xln0hxxlnhxxxx1x1alnhxxxx1me1xfxaxfxfx221aaa1exfxxmmR1mfx（2）求证：当时，．3．[2019·茂名一模]已知函数在处的切线斜率为．（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；（2）若，证明：．0,x1len2xxx1exafxaxR2xe2afxelnxgxxfx1gx1．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），当时，，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，当时，，故函数在上单调递减；当时，，故函数在上单调递增．（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，没有最小值，故．，整理得，即．令，易知在上单调递增，且；所以的解集为，所以．2．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）当时，，，令，则．当时，；当时，，∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是．0,1exfxa0ae0xfxafxR0a0fxlnxa,lnxa0fxfx,lnaln,xa0fxfxln,a0afxR0a2minlnln121fxfaaaaaa2ln220aaaaln220aaln22(0)gaaaaga0,10gln220aa0,10,1a1m1exfxx1exfx1e0xfx0x0x0fx0x0fxfx,00,（2）由（1）知，当时，，∴当时，，即，当时，要证，只需证，令，，由，可得，则时，恒成立，即在上单调递增，∴．即，∴．3．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1），由切线斜率，解得．，其定义域为，，令，解得，故在区间上单调递增；令，解得，且，故在区间和区间上单调递减．（2）由（1）知，定义域为．从而等价于，设，则，．1mmax00fxf0,x1e0xxe1xx0,x1len2xxx2ee1xxx2ee1e1exxxxFxxx22eln1e12eeeeee2xxxxxxxxxFxxe1xx2e12xx0,x0FxFx0,00FxF2ee1xxx1len2xxx122eee1eeexxxxaaxxfxaxxx221e2e22kfa2a12exfxx,00,12...