函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个，都有；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个，都有；（3）图象特征：偶函数图象关于轴对称。（这是判断偶函数的直观方法）二、周期性周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。例如，狄利克雷函数，当为有理数时，取1；当为非有理数时，取0。（1）如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数。（2）如果奇函数满足（），则函数是以为周期的周期函数。（3）如果偶函数满足（），则函数是以为周期的周期函数。三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数对定义域内一切来说，其中为常数，函数满足：（1）函数图象关于直线成轴对称；（2）函数的图象关于直线成轴对称；（3）函数图象关于直线成轴对称；（4）函数图象关于轴对称（偶函数）；（5）函数图象关于成中心对称；（6）—函数图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数；（8）如果奇函数满足（），则函数是以为周期的周期函数；（9）如果偶函数满足（），则函数是以为周期的周期函数。2、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）（1）曲线与关于轴对称。（2）曲线与关于轴对称。（3）曲线与的图象关于原点对称；（4）曲线与的图象关于直线对称。（5）曲线与关于直线对称。（6）曲线关于直线对称曲线为。（7）曲线关于直线对称曲线为。（8）曲线关于直线对称曲线为。（9）曲线关于点对称曲线为。注意：设，都有且有个实根，则所有实根之和为。例1：已知满足，，当时且，若，，，求大小关系？解：由已知得，对称轴，也为一条对称轴∴，，，，∴例2：若函数，有，求。解：，知的图象关于对称，而的对称中心，∴，∴，则。例3：设是定义在上的函数，均有，当时，，求当时，的解析式。解：由有得设，则，；∴，∴当时，。
