大题规范满分练(五)解析几何综合问题1.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.(2)若=3,求|AB|.【解析】设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.2.(2020·常州模拟)已知双曲线与椭圆+=1有相同焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左,右焦点分别是F1,F2,试问在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.请说明理由.【解析】(1)椭圆+=1的焦点在x轴上,且c==4,即焦点为(±4,0),于是可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由双曲线经过点(4,6),可得2a=|-|=4,即a=2,b==2,故双曲线方程为-=1;(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,则点P只能在右支上.由于在双曲线-=1中,由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=4,于是得|PF1|=5,|PF2|=1.但当点P在双曲线右支上时,点P到左焦点F1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.3.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点.(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.【解析】(1)设D,A(x1,y1),则=2y1.由于y′=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+.由可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=|x1-x2|=×=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=,d2=.因此,四边形ADBE的面积S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).设M为线段AB的中点,则M.由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4.因此,四边形ADBE的面积为3或4.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,AB=4.(1)求椭圆的方程.(2)若|AB|+|CD|=,求直线AB的方程.【解析】(1)由题意知e==,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件.②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线CD的方程为y=-(x-1).将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1·x2=,所以|AB|=|x1-x2|=·=.同理,|CD|==.所以|AB|+|CD|=+==,解得k=±1,所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
