考点13球的表面积和体积1．球的表面积公式为S球＝4πR2，即球面面积等于它的大圆面积的四倍．2．球的半径为R，则球的体积为V球＝43πR3．【例】用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r1＝24cm，r2＝15cm，两截面间的距离为d＝27cm，求球的表面积．【易错易混】注意两个截面的位置．1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A．2倍B．2倍C．倍D．32倍【答案】B【解析】球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的倍，体积扩大到原来的2倍．2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是()A．6π6B．π2C．2π2D．6π63．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，若不计损耗，则圆柱的高为()A．RB．2RC．3RD．4R【答案】D【解析】设圆柱的高为h，则3×43πR3＝πR2·h，所以h＝4R．4．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．【答案】12π．【解析】设球的半径为R，则43πR3＝4π，∴R＝，∴球的表面积S＝4πR2＝4π×3＝12π．5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．【答案】3π【解析】由三视图还原为实物图为半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S＝12×4π×12＋π×12＝3π．【易错易混】表面积为半球面＋底面圆，而不是表面积为半球面．1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．13＋23πB．13＋23πC．13＋26πD．1＋26π【答案】C【解析】由三视图知,半球的半径R＝22,四棱锥为底面边长为1,高为1的正四棱锥,∴V＝13×1×1×1＋12×43π×22＝13＋26π，故选C．2．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式．人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3．14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是()A．d≈16VB．d≈32VC．d≈300VD．d≈21V3．木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的__________倍．【答案】240【解析】由题意，得4πR2木＝4πR2地·120，所以R木＝R地所以V木＝43πR3木＝43π·(R地)3＝240·43πR3地＝240V地．4．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．【答案】4000π【解析】∵AB：BC：AC＝18：24：30＝3：4：5，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°．又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，露珠为何是圆的表面张力的原因．表面张力使得液体尽可能的减小表面积，而球体正好满足这一要求，所以在没有外力作用下，液体成球体状．在自然环境中，由于有重力、外界的支撑力等因素，露珠不会成标准的球体．科学家曾设想在太空中来生产标准球体的钢珠，因为在地球上是很难完成的，而在太空中是很容易的事情．我们学习了球的体积与表面积之后不难得到详细答案．
