专题09等差数列、等比数列1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＝8，则S7＝()A．28B．32C．56D．24解析：S7＝＝＝28.故选A.答案：A2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为()A．－2或1B．－1或2C．－2D．1答案：C3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为()A．9B．10C．11D．12解析：由题意，不妨设a6＝9t，a5＝11t，则公差d＝－2t，其中t>0，因此a10＝t，a11＝－t，即当n＝10时，Sn取得最大值．答案：B4．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为()A．4B．5C．6D．7解析：由等比数列的性质可知am＋1·am－1＝a＝2am(m≥2)，∴am＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，∴T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5.答案：B5．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则＝()A．6B．7C．8D．9解析：∴3a1，a3，2a2成等差数列，∴a3＝3a1＋2a2，∴q2－2q－3＝0，∴q＝3或q＝－1(舍去)．∴＝＝＝q2＝32＝9.答案：D6．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为()A．12B．14C．15D．16答案：D7．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．5B．7C．6D．4答案：A解析：由题意知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9三数成等比数列，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝50.又an＞0，∴a4a5a6＝5，故选A.8．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为()A．－2B．2C．－3D．3答案：B解析：设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1. ＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∴＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.9．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)答案：D10．数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则a3＝________；{an}的前n项和Sn＝________.【解析】 ＝an，∴an＋m＝an·am，∴a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8.令m＝1，则有an＋1＝an·a1＝2an，∴数列{an}是首项为a1＝2，公比为q＝2的等比数列，∴Sn＝＝2n＋1－2.【答案】82n＋1－211．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)．若存在正实数λ使得数列{an＋1＋λan}为等比数列，则λ＝________.【解析】由题意可知，an＋2＋λan＋1＝(1＋λ)an＋1＋an＝(1＋λ)，∴＝λ，解得λ＝或λ＝(舍)， a1＝a2＝1，∴a3＝2，易验证当n＝1时满足题意．故λ＝.【答案】12．各项均不为零的等差数列{an}中，a1＝2，若a－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则S2016＝________．解析：由于a－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，即a－2an＝0，∴an＝2，n≥2，又a1＝2，∴an＝2，n∈N*，故S2016＝4032.答案：403213．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．答案：112114．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝________．解析： an，Sn，a成等差数列，∴2Sn＝an＋a.当n＝1时，2a1＝2S1＝a1＋a.又a1>0，∴a1＝1.当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，∴(a－a)－(an＋an－1)＝0，∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，又an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n(n∈N*)．答案：n15．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.16．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列{an}的通项公式．(1)解：当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，整理得a4＝，又a2＝，a3＝，所以a4＝.(2)证明：当n≥2时，有4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，即4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4S...
