高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第4节 垂直关系教师用书 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

第四节垂直关系[考纲传真]1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理2.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)定理11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[ l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥nC[ α∩β＝l，∴lβ. n⊥β，∴n⊥l.]4．如图741，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．2图7414[ PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________.【导学号：66482336】a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，∴A′C＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]线面垂直的判定与性质如图742，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.图742(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．[解](1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD平面BCD，所以AB⊥CD.2分又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD⊥平面ABD.5分(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.3又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝×12＝.8分因为M是AD的中点，所以S△ABM＝S△ABD＝.根据(1)知，CD⊥平面ABD，则三棱锥CABM的高h＝CD＝1，故VAMBC＝VCABM＝S△ABM·h＝.12分[规律方法]1.证明直线和平面垂直的常用方法：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1]如图743所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.图743求证：PA⊥CD.[证明]因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°.3分设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.8分因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD.12分面面垂直的判定与性质(2017·郑州调研)如图744，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．图7444(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.1分在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM...