第7讲抛物线一、选择题1．抛物线y＝ax2(a<0)的准线方程是()A．y＝－B．y＝－C．y＝D．y＝解析：选B．抛物线y＝ax2(a<0)可化为x2＝y，准线方程为y＝－．故选B．2．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x解析：选B．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，x1＋x2＋p＝8，因为AB的中点到y轴的距离是2，所以＝2，所以p＝4；所以抛物线方程为y2＝8x．故选B．3．顶点在原点，经过圆C：x2＋y2－2x＋2y＝0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为()A．y2＝－2xB．y2＝2xC．y＝x2D．y＝－x2解析：选B．因为圆C：x2＋y2－2x＋2y＝0的圆心是(1，－)，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点(1，－)，设标准方程为y2＝2px，因为点(1，－)在抛物线上，所以(－)2＝2p，所以p＝1，所以所求抛物线方程为y2＝2x，故选B．4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16解析：选B．如图，由kAF＝－知∠AFM＝60°．又AP∥MF，所以∠PAF＝60°．又|PA|＝|PF|，所以△APF为等边三角形．故|PF|＝|AF|＝2|MF|＝2p＝8．5．已知点A(2，1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为()A．(2，1)B．(1，1)C．D．1解析：选D．如图，设抛物线准线为l，作AA′⊥l于A′，PP′⊥l于P′，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|≥|AA′|，即当P点为AA′与抛物线交点时，|PA|＋|PF|最小，此时P．故选D．6．抛物线y2＝2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝()A．2B．4C．6D．8解析：选B．因为△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，所以＋＝3，所以p＝4．二、填空题7．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP＝，代入y2＝2x，得yP＝±，所以P．答案：8．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B．又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6．答案：69．过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，因为|PA|＝|AB|，所以又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝．答案：10．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为__________________．2解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC＝(－1，0)，AF＝(1，－a)，由题意得AC与AF的夹角为120°，得cos120°＝＝－，解得a＝，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1．答案：(x＋1)2＋(y－)2＝1三、解答题11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，所以p＝2．所以抛物线方程为y2＝4x．(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．又因为F(1，0)，所以kFA＝，因为MN⊥FA，所以kMN＝－．所以FA的方程为y＝(x－1)，①MN的方程为y－2＝－x，②联立①②，解得x＝，y＝，所以N的坐标为．12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
