活页作业(十三)函数奇偶性的应用(时间:30分钟满分:60分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上是()A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定解析:f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),得m=0,所以f(x)=-x2+3,画出函数f(x)=-x2+3的图象知,在区间(2,5)上为减函数.答案:B2.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}解析:当x≥0时,f(x)=x3-8>0⇔x>2,由于f(x)是偶函数,所以当x∈R时,f(x)>0的解集为{x|x<-2或x>2},故f(x-2)>0的解集为{x|x<0或x>4}.答案:B3.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)解析:∵f(x)为偶函数,且当x∈[0,+∞)时f(x)为增函数,又∵f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),且2<3<π,∴f(2)<f(3)<f(π),即f(-2)<f(-3)<f(π).答案:A二、填空题(每小题4分,共8分)4.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)=__________.解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).又f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,∴f(1)+f(2)=-3.答案:-35.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=____________.解析:设x<0,则-x>0,f(-x)=+1,又函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-f(-x)=--1.因此,当x<0时,f(x)的解析式为f(x)=--1.答案:--1三、解答题6.(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式;(2)画出函数f(x)的图象.解:(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0;②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.综上,f(x)=(2)图象如图.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知f(x)在[a,b]上是奇函数,且f(x)在[a,b]上的最大值为m,则函数F(x)=f(x)+3在[a,b]上的最大值与最小值之和为()A.2m+3B.2m+6C.6-2mD.6解析:因为奇函数f(x)在[a,b]上的最大值为m,所以它在[a,b]上的最小值为-m.所以函数F(x)=f(x)+3在[a,b]上的最大值与最小值之和为m+3+(-m+3)=6.故选D.答案:D2.若φ(x),g(x)都是奇函数,f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则f(x)在(-∞,0)上有()A.最小值-5B.最大值-5C.最小值-1D.最大值-3解析:由已知,对任意x∈(0,+∞),f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≤5.对任意x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),且φ(x),g(x)都是奇函数,有f(-x)=aφ(-x)+bg(-x)+2≤5.即-aφ(x)-bg(x)+2≤5,∴aφ(x)+bg(x)≥-3.∴f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≥-3+2=-1.答案:C二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知f(x),g(x)均为奇函数,F(x)=af(x)+bg(x)-2,且F(-3)=5,则F(3)的值为________.解析:设G(x)=af(x)+bg(x).∵f(x),g(x)为奇函数,∴G(x)为奇函数.∵F(-3)=G(-3)-2=5,∴G(-3)=7.∴G(3)=-G(-3)=-7.∴F(3)=G(3)-2=-7-2=-9.答案:-94.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的顺序是______________.解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立.所以m=0,即f(x)=-x2+2.因为f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,所以f(2)<f(1)<f(0),即f(-2)<f(1)<f(0).答案:f(-2)<f(1)<f(0)三、解答题5.(本小题满分10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b∈R,当a+b≠0时,都有>0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.解:(1)∵a>b,∴a-b>0.由题意得>0,∴f(a)+f(-b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-b)=-f(b).∴f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数.∵f(1+m)+f(3-2m)≥0,∴f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥f(2m-3).∴1+m≥2m-3.∴m≤4.∴实数m的取值范围是(-∞,4].