活页作业(十三)函数奇偶性的应用(时间：30分钟满分：60分)一、选择题(每小题4分，共12分)1．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是()A．增函数B．减函数C．有增有减D．增减性不确定解析：f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图象知，在区间(2,5)上为减函数．答案：B2．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝()A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}解析：当x≥0时，f(x)＝x3－8＞0⇔x＞2，由于f(x)是偶函数，所以当x∈R时，f(x)＞0的解集为{x|x＜－2或x＞2}，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0或x＞4}．答案：B3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)解析：∵f(x)为偶函数，且当x∈[0，＋∞)时f(x)为增函数，又∵f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，且2＜3＜π，∴f(2)＜f(3)＜f(π)，即f(－2)＜f(－3)＜f(π)．答案：A二、填空题(每小题4分，共8分)4．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________.解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．又f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴f(1)＋f(2)＝－3.答案：－35．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝____________.解析：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝＋1，又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以f(x)＝－f(－x)＝－－1.因此，当x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝－－1.答案：－－1三、解答题6．(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象．解：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x＜0时，－x＞0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.综上，f(x)＝(2)图象如图．一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为()A．2m＋3B．2m＋6C．6－2mD．6解析：因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的最小值为－m.所以函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为m＋3＋(－m＋3)＝6.故选D.答案：D2．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有()A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－3解析：由已知，对任意x∈(0，＋∞)，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≤5.对任意x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，且φ(x)，g(x)都是奇函数，有f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＋2≤5.即－aφ(x)－bg(x)＋2≤5，∴aφ(x)＋bg(x)≥－3.∴f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知f(x)，g(x)均为奇函数，F(x)＝af(x)＋bg(x)－2，且F(－3)＝5，则F(3)的值为________．解析：设G(x)＝af(x)＋bg(x)．∵f(x)，g(x)为奇函数，∴G(x)为奇函数．∵F(－3)＝G(－3)－2＝5，∴G(－3)＝7.∴G(3)＝－G(－3)＝－7.∴F(3)＝G(3)－2＝－7－2＝－9.答案：－94．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是______________．解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立．所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，所以f(2)＜f(1)＜f(0)，即f(－2)＜f(1)＜f(0)．答案：f(－2)＜f(1)＜f(0)三、解答题5．(本小题满分10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．解：(1)∵a＞b，∴a－b＞0.由题意得＞0，∴f(a)＋f(－b)＞0.又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－b)＝－f(b)．∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数．∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)．∴1＋m≥2m－3.∴m≤4.∴实数m的取值范围是(－∞，4]．
