数列一、选择题1已知等比数列的公比为2，且，则的值为()A．10B．15C．20D．25答案：A2、若一个等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且所有项的和为99，则这个数列有（D）A.9项B.12项C.15项D.18项答案：D二、填空题1在等比数列中，若，则答案：32、在数列中，，（），试归纳出这个数列的通项答案：3、若等比数列满足，则答案：84、已知数列为等差数列，若，，则答案：455、.已知数列的前项和为，且,则答案：三、解答题1、数列、的每一项都是正数,,,且、、成等差数列,、、成等比数列,.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）求数列、的通项公式；（Ⅲ）证明:对一切正整数,有.(Ⅰ)由，可得.…………1分由，可得.………………2分（Ⅱ）因为、、成等差数列，所以…①.…………3分因为、、成等比数列，所以，……………4分因为数列、的每一项都是正数，所以…②.于是当时，…③.…………………………………………………………………4分将②、③代入①式，可得，…………………………………………………………5分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，于是.………………………6分由③式，可得当时，.……………7分当时，，满足该式子，所以对一切正整数，都有.……………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为.……………9分方法一:首先证明（）.因为,………………10分所以当时，.…12分当时，.……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数，有………………14分方法二:.当时，.…………………12分当时，；当时，.……………13分综上所述，对一切正整数，有……………………………14分方法三:..当时,.……………………………………………………12分当时，；当时，；当时，.……13分综上所述，对一切正整数，有………………14分：2、已知数列{an}满足，，．（1）求证：数列为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由．解：（1）因为，所以．……………………………1分所以．……………………………………………………3分因为，则．……………………………………………………4分所以数列是首项为，公比为的等比数列．………………………5分（2）由（1）知，，所以．…………………7分假设存在互不相等的正整数，，满足条件，则有…………………………………………………9分由与，得．………………………………10分即．……………………………………11分因为，所以．…………………………………………12分因为，当且仅当时等号成立，这与，，互不相等矛盾．…………………………………………13分所以不存在互不相等的正整数，，满足条件．…………………………14分3、已知数列满足（1）求的通项公式；（2）证明：.（1）解2分4分5分∴数列是以为首项，为公比的等比数列，6分∴，∴。7分（2）证明： 9分10分11分∴，12分 n是正整数，∴，，13分∴。14分4、已知数列的前项和为记（1）若数列是首项与公差均为的等差数列，求；（2）若且数列均是公比为的等比数列，求证：对任意正整数，解：（1）数列是首项与公差均为的等差数列，………………………1分……………………3分……………………5分故…………………………………………………6分（2）由题意………………………………7分…………………………8分故…………………………………………9分……………10分（证法一）当时，；………………………11分当时，，………………………12分…………………………………………………………………………………………13分故对任意正整数，………………………………………………14分（证法二）…………………………11分，，数列是递增数列.……………………………………………………12分……………………………………………13分…………………………………………………………14分5、正项数列的前项和满足:．(1)求数列的通项公式;(2)令,数列的前项和为，证明:对于任意的,都有．(1)解:由,得.………2分由于是正项数列,所以.…………3分于是时,.………5分综上,数列的通...
