高考数学二轮复习 中档大题保分练5-人教版高三全册数学试题VIP免费

中档大题保分练(05)(满分：46分时间：50分钟)说明：本大题共4小题，其中第1题可从A、B两题中任选一题；第4题可从A、B两题中任选一题.共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(A)(12分)已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．解：(1)由已知a1an＝S1＋Sn，可得当n＝1时，a＝a1＋a1，可解得a1＝0，或a1＝2，由{an}是正项数列，故a1＝2．当n≥2时，由已知可得2an＝2＋Sn,2an－1＝2＋Sn－1，两式相减得，2(an－an－1)＝an.化简得an＝2an－1，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n．∴数列{an}的通项公式为an＝2n．(2)∵bn＝，代入an＝2n化简得bn＝＝，∴其前n项和Tn＝＝＝－．1．(B)(12分)(2018·北京顺义区二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＞c，a＝6，b＝5，△ABC的面积为9．(1)求cosC的值；(2)求c及sinB的值．解：(1)因为△ABC的面积S＝absinC，所以×6×5sinC＝9，所以sinC＝．因为b＞c，所以cosC＝．(2)在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝13，所以c＝.又因为b＝5，sinC＝，所以在△ABC中，由正弦定理得sinB＝＝．2．(12分)如图，三棱锥DABC中，AB＝2，AC＝BC＝，△ADB是等边三角形且以AB为轴转动．(1)求证：AB⊥CD；(2)当三棱锥DABC体积最大时，求它的表面积．(1)证明：取AB的中点H，连接DH，CH，⇒⇒AB⊥CD．(2)解：V＝×S△ABC×h＝×1×h＝，∴若V最大，则h最大．∴平面ADB⊥平面ABC．此时S表＝S△ABC＋S△ADB＋S△ACD＋S△BCD＝1＋＋．3．(12分)距离2019年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺．高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系．为了了解考试时学生的紧张程度，对某校500名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：男女总计正常304070焦虑270160430总计300200500(1)根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？(2)若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率．附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.2580.150.100.050.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.635解：(1)假设该学校学生的考前焦虑与性别无关，K2＝＝≈9.967＞6.635，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关．(2)男生、女生分别抽取3人，4人．记为A1，A2，A3，B1，B2，B3，B4．基本事件为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，A3B2，A3B3，A3B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4．满足条件的有：A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，，A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，A3B2，A3B3，A3B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4．∴P＝＝＝．4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy中，过点P(－1，－2)的直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ·sinθ·tanθ＝2a(a＞0)，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|＝|MN|，求实数a的值．解：(1)∵(t为参数)∴直线l的普通方程为x－y－1＝0．∵ρsinθtanθ＝2a，∴ρ2sin2θ＝2aρcosθ，由得曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax．(2)∵y2＝2ax，∴x≥0，设直线l上的点M，N对应的参数分别是t1，t2(t1＞0，t2＞0)，则|PM|＝t1，|PN|＝t2，∵|PM|＝|MN|，∴|PM|＝|PN|，∴t2＝2t1，将代入y2＝2ax，得t2－2(a＋2)t＋4(a＋2)＝0，∴又∵t2＝2t1，∴a＝．4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋2|．(1)解不等式2f(x)＜4－|x－1|；(2)已知m＋n＝1(m＞0，n＞0)，若关于x的不等式|x－a|－f(x)≤＋恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)不等式2f(x)＜4－|x－1|等价于2|x＋2|＋|x－1|＜4，即或或解得或{x|－2＜x＜－1}或，∅所以不等式的解集为．(2)因为|x－a|－f(x)＝|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|，所以|x－a|－f(x)的最大值是|a＋2|，又m＋n＝1(m＞0，n＞0)，于是(m＋n)＝＋＋2≥2＋2＝4，∴＋的最小值为4．要使|x－a|－f(x)≤＋的恒成立，则|a＋2|≤4，解此不等式得－6≤a≤2.所以实数a的取值范围是[－6,2]．