高中数学小议向量背景下的轨迹问题专题辅导 VIP专享VIP免费

高中数学小议向量背景下的轨迹问题杨浦斌向量是沟通代数、几何与三角函数的工具，有着丰富的实际背景。本文就轨迹问题谈之。一、中点问题例1已知A（－2，0）、B（2，0），点C、点D满足||AC2，AD12()ABAC。（I）求点D的轨迹方程；（II）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程。解：（I）设点C（xy00，），D（x，y），则ACxy()002，，AB（，）40，ABACxyADABACx((00061223，），（），y02）。又ADxy()2，故xxyy002322解得将其代入||()ACxy020222得xy221，即为所求点D的轨迹方程。（II）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为ykx()2①椭圆方程为xayaa22222414（）②因为直线l与圆xy221相切，故||2112kk，解得k213。将①代入②，整理得()akaxakxakaa222222224244440，而k213，即()axaxaa2224233440设M（xy11，），N（xy22，）则xxaa12223由题意有aaa22232453()，解得a28。经检验，此时△>0。故所求的椭圆方程为。二、角问题例2如图1，已知两定点A（－c，0），B（2c，0）（c>0），在△AMB中，设向量AMBMAB，与的单位向量分别为eeeeeee123231322，与，且()－1。用心爱心专心（I）求顶点M的轨迹方程，并画出方程的曲线；（II）自古代开始，数学家就想只用圆规和直尺三等分任意角，但一直没有成功。直到十九世纪，其不可能性才被Galois的方程论证明。但是若利用所求方程的曲线、圆规和直尺，则我们可以三等分任意角。请三等分图中的∠ADB，并证明。图1解：（I）设∠MBA=，∠MAB=，由题设coscoscos2122，当xc2时，有tantantan212①设点M（x，y），当点M在x轴上方时，将tanyxc2，tanyxc代入①，整理得xcyc222231；当点M在x轴下方时，tanyxc2，tanyxc，仍有xcyc222231。注意到当x=2c时，亦满足方程。故所求的轨迹方程是双曲线xcycxc222231（）的右支，但不包括x轴上的点，图形如图1。（II）如图1，作△ADB的外接圆与双曲线xcycxc222231（）交于点C（C是不在圆弧ADB上的点）。连AC，CB，CD，则有∠ADC=，∠BDC=，由2，得∠BDC=13∠ADB。三、垂直问题例3如图2，P（－3，0），点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，且APAQ0，在AQ的延长线上取一点M，使||||QMAQ2。（I）当A点在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（II）已知ij（，），（，）0110经过（－1，0）以kij为方向向量的直线l与轨迹C交于E、F两点，又点D（1，0），若∠EDF为钝角时，求k的取值范围。图2解：（I）设A（0，y0）、Q（x00，）、M（x，y），则AP(3，y0），用心爱心专心AQxy()00，。又APAQ0所以30000xyy()()所以yx0203①又||||QMAQ2所以xxyy003023，所以xxyy0032②将②代入①，得yxx240（）（II）kijkk（，）（，）（，）01101则：，此与联立得，△时，，，③lykxyxkxkxkxxkkxxk()()()()142404210100122222122212又DExyDFxyEDFDEDF()()112211，，，，若∠为钝角，则<0而DEDFxxyyxxxxkxkx()()()()()121212121211111()()()kxxkxxk21221221110④将③代入④，整理得4202k所以2222k由题知k≠0，故k()()220022，，四、平行四边形问题例4一椭圆中心在原点，右焦点为F（2，0），离心率为63。（I）过F作弦AB，使OABP，求点P的轨迹方程；（II）OAPB是不是矩形，如果是，写出相应的直线AB的方程，如果不是，说明理由。解：（I）cca263，所以，所以椭圆方程为abxy222226622621设P（x,y）为轨迹上一点，由题设得平行四边形OAPB，其对称中心为（xy22，）设AxyBxy()()1122，，，，则xyxy121222223636和，两式...