第三节直接证明与间接证明直接证明考向聚焦证明方法是高考常考内容,一般不单独命题、主要以函数、三角函数、数列、向量、不等式、立体几何、解析几何等为载体,考查综合法、分析法、反证法等且以直接证明的综合法为重点.多以解答题的形式出现,具有一定的难度,属中高档题,所占分值12~14分备考指津综合法和分析法是两种不同的证明方法,分析法便于寻找解题思路,而综合法便于证题过程的叙述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,应注意两种方法的综合运用1.(年陕西卷,文7)下列四类函数中,“具有性质对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是()(A)幂函数(B)对数函数(C)指数函数(D)余弦函数解析: (x+y)α≠xα·yα,∴幂函数f(x)=xα不具有此性质. loga(x+y)≠logax·logay(a>0,且a≠1),∴对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)不具有此性质. ax+y=ax·ay,∴指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)具有此性质. cos(x+y)≠cosx·cosy,∴余弦函数f(x)=cosx不具有此性质.故选C.答案:C.2.(年福建卷,文20,12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°;(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°;(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°;(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择(2)式,计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式为:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=,证明:法一:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=(sin2α+cos2α)=.法二:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)=1-cos2α-+cos2α=1-=.本题主要考查同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识.考查学生的运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查特殊与一般思想.3.(年浙江卷,文21)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a
