【成才之路】-学年高中数学3.2第2课时基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A.B.C.D.[答案]A[解析]f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，计算比较得最大值为f()＝.2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小()A．20B．30C．40D．60[答案]A[解析]设船速为每小时x(x＞0)公里，燃料费为Q元，则Q＝kx3，由已知得：6＝k·103，∴k＝，即Q＝x3.记行驶每公里的费用总和为y元，则y＝(x3＋96)·＝x2＋y′＝x－，令y′＝0，即x－＝0，解之得：x＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥B．m>C．m≤D．m<[答案]A[解析]由f′(x)＝2x3－6x2＝0得，x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.二、填空题4．下列结论中正确的有________．①在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值；②在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x＝a和x＝b处取到；④在区间[a，b]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值．[答案]④[解析]由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.5．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝________.[答案][解析]f′(x)＝4ax3－12ax2(a>0，x∈[1,4])．由f′(x)＝0，得x＝0(舍)，或x＝3，可得x＝3时，f(x)取得最小值为b－27a.又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，∴f(4)为最大值．由解得∴a＋b＝.三、解答题6．(·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．[解析](1)由条件可得解得a＝－，b＝1，则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，则T′(x)＝＋－＝－，令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，∴当x＝50时，T(x)取最大值．T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.一、选择题1．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.B．C．D．2[答案]C[解析]设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin60°·l，∴l＝.∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin60°＋3·x·l＝x2＋.∴S表′＝x－＝0∴x3＝4V，即x＝，又当x∈(0，)时，S表′<0；当x∈(，V)时，S表′>0∴当x＝时，表面积最小．2．若函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围为()A．[－1,1)B．[－2,1)C．[－2，－1)D．(－2，＋∞)[答案]B[解析]由于f′(x)＝－x2＋1，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a2)上存在最大值的条件为⇒－1≤a＜1或综上可知a的取值范围为[－2,1)．3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1B.C.D.[答案]D[解析]本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值．令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－lnx，∴F′(x)＝2x－.令F′(x)＝0，∴x＝，∴F(x)在x＝处最小．4．已知不等式≤对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围是()A．(0,1]B．(－∞，1]C．[0,2]D．(0,2][答案]A[解析]令y＝，则y′＝，可以验...
