【成才之路】-学年高中数学3.2.1+2两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数基础巩固北师大版必修4一、选择题1．cos24°cos36°－cos66°cos54°的值是()A．0B．C．D．－[答案]B[解析]原式＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos60°＝.2．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝()A．－B．C．－D．[答案]A[解析]因为cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－.3．化简cosx＋sinx等于()A．2cos(－x)B．2cos(－x)C．2cos(＋x)D．2cos(＋x)[答案]B[解析]cosx＋sinx＝2(cosx＋sinx)＝2(coscosx＋sinsinx)＝2cos(－x)．4．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈[－π，0]的单调递增区间是()A．[－π，－]B．[－，－]C．[－，0]D．[－，0][答案]D[解析]方法一：f(x)＝－2(cosx－sinx)＝－2(coscosx－sinsinx)＝－2cos(x＋)． x∈[－π，0]，∴x＋∈[－，]．由于y＝－2cost在[0，]上是增函数，由0≤x＋≤得－≤x≤0.故f(x)＝sinx－cosx，x∈[－π，0]的增区间为[－，0]．方法二：f(x)＝2(sinx－cosx)＝2(cossinx－sincosx)＝2sin(x－)． x∈[－π，0]，∴x－∈[－，－]．由于y＝2sint在[－，－]上是增函数，由－≤x－≤－，得－≤x≤0.∴f(x)＝sinx－cosx，x∈[－π，0]的增区间为[－，0]．5．已知向量OC＝(2,2)，CA＝(cosα，sinα)，则OA的模的取值范围是()A．[1,3]B．[1,3]C．[，3]D．[，3][答案]D[解析]OA＝OC＋CA＝(2＋cosα，2＋sinα)，所以|OA|＝＝，所以≤|OA|≤3，所以|OA|∈[，3]．故选D.二、填空题6．化简：＝________.[答案]1[解析]原式＝＝＝＝1.7．若sin＝，<θ<，则cosθ＝________.[答案][解析] <θ<，∴0<θ－<，cos＝，cosθ＝cos＝cos·cos－sinsin＝×－×＝.三、解答题8．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．(1)求证：a＋b与a－b垂直；(2)若α∈，β＝，且a·b＝，求sinα.[解析](1)证明： a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.即(a＋b)⊥(a－b)．(2)由已知a·b＝cosαcos＋sinαsin＝cos，且a·b＝，∴cos＝.由－<α<，得－<α－<0.∴sin＝－＝－.∴sinα＝sin＝sincos＋cossin＝－.一、选择题1．(·新课标Ⅰ理，8)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则()A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝[答案]C[解析]本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法，当2α－β＝，β＝2α－，所以tanα＝＝＝＝tanα.本题直接求解不容易计算，运用验证的方法可以迅速的求解．2．已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－B．C．－D．[答案]C[解析]本题考查三角函数的诱导公式、和角公式以及计算能力． cos＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα，∴cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，即sin＝.又sin＝sin＝－sin＝－.二、填空题3．下面有道填空题因印刷原因造成横线上内容无法认清，现知结论，请在横线上填写原题的一个条件：题目：已知α，β均为锐角，且sinαsinβ＝，________，则cos(α－β)＝.[答案]cosαcosβ＝(不唯一)[解析]由可得cosαcosβ＝.4．已知△ABC中，∠A＝120°，则sinB＋sinC的最大值为________．[答案]1[解析]由∠A＝120°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，得sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝cosB＋sinB＝sin(60°＋B)．显然当∠B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.三、解答题5．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点．P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．(1)若点Q的坐标是(，)，求cos(α－)的值；(2)设函数f(α)＝OP·OQ，求f(α)的值域．[解析](1)由已知可得cosα＝，sinα＝.所以cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.(2)f(α)＝OP·OQ＝(cos，sin)·(cosα，sinα)＝cosα＋sinα＝sin(α＋)．因为α∈[0，π)，则α＋∈[，)，所以－
