【成才之路】-学年高中数学1.3第3课时导数的实际应用同步测试新人教B版选修2-2一、选择题1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N＋)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年可使其营运年平均利润最大()A．3B．4C．5D．6[答案]C[解析]年平均利润f(x)＝＝－x－＋12(x∈N＋)，又f′(x)＝－1＋，令f′(x)＝0，解得x＝5.又极值唯一，故选C.2．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50[答案]C[解析]如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ×2×5cosθ＝50sinθcosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.故选C.3．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.B．C.D．2[答案]C[解析]设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin60°·l，∴l＝.∴S表＝2S底＋3S侧＝x2sin60°＋3xl＝x2＋.令S′表＝x－＝0，则x3＝4V，即x＝.又当x∈(0，)时，S′表<0；x∈(，V)时，S′表>0.∴当x＝时，表面积最小．故选C.4．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm[答案]B[解析]设截去的正方形的边长为xcm，则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48－2x)cm，高为xcm，体积V(x)＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋482x.其中00)，令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此时S最大＝42＝16.故选C.8．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]C[解析]本题考查了导数的应用及求导运算， x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9，x∈(0,9)，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．二、填空题9．面积为S的一切矩形中，其周长最小的是________．[答案]以为边长的正方形[解析]设矩形的长为x，则宽为，其周长l＝2x＋(00，∴当x＝时，l取极小值，这个极小值就是最小值．故面积为S的一切矩形中，其周长最小的是以为边长的正方形．10．把长60cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．[答案]1515[解析]设矩形的长为xcm，则宽为＝(30－x)cm(00，当15
