2.4.2抛物线的简单几何性质[A基础达标]1．顶点在原点，焦点为F32，0的抛物线的标准方程是()A．y2＝32xB．y2＝3xC．y2＝6xD．y2＝－6x解析：选C．顶点在原点，焦点为F32，0的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，由题意知p2＝32，故p＝3．因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x．2．已知直线y＝kx－k(k为实数)及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点解析：选C．因为直线y＝kx－k恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2x1x2为()A．4B．－4C．p2D．－p2解析：选B．法一：(特例法)当直线垂直于x轴时，点Ap2，p，Bp2，－p，y1y2x1x2＝－p2p24＝－4．法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y1y2＝－p2，则y1y2x1x2＝y1·y2y212p·y222p＝4p2y1y2＝4p2－p2＝－4．4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A．23pB．43pC．63pD．83p解析：选B．设A、B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA方程为y＝33x．由y＝33x，y2＝2px，得y＝23p，所以△AOB的边长为43p．5．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋12＝0的距离等于()A．74B．2C．94D．4解析：选C．直线4kx－4y－k＝0，即y＝kx－14，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点14，0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋12＝4，故x1＋x2＝72，则弦AB的中点的横坐标是74，弦AB的中点到直线x＋12＝0的距离是74＋12＝94．6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是线段AB的中点M的横坐标为52，因此点M到抛物线准线的距离为52＋1＝72，故填72．答案：727．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．解析：设抛物线C的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组y2＝axy＝x，得交点坐标为A(0，0)，B(a，a)，而点P(2，2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线C的方程为y2＝4x．答案：y2＝4x8．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝（x－2）2＋y2＝（x－2）2＋x＝x2－3x＋4＝x－322＋74．所以当x＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝72．答案：729．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝17，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题知M0，－p2．因为|AF|＝3，所以y0＋p2＝3，因为|AM|＝17，所以x20＋y0＋p22＝17，所以x20＝8，代入方程x20＝2py0得，8＝2p3－p2，解得p＝2或p＝4．所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y．10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△AOB的面积等于10时，求k的值．解：(1)证明：如图，由方程组y2＝－x，y＝k（x＋1），消去x并整理，得ky2＋y－k＝0．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知y1＋y2＝－1k，y1·y2＝－1．因为kOA·kOB＝y1x1·y2x2＝y1－y21·y2－y22＝1y1y2＝－1，所以OA⊥OB．(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0．令y＝0，则x＝－1，即点N(－1，0)．所以S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝12|ON||y1|＋12|ON||y2|＝12|ON||y1－y2|＝12×1×（y1＋y2）2－4y1y2＝12－1k2＋4＝10，所以k＝±16．[B能力提升]11．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2，1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1，l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为()A．1B．2C．3...
