1/13专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有02020kbyax。（2）)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有02020kbyax2/13FAPHBQF′FPHy0xA（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）连PF，当A、P、F三点共线时，PFAPPHAP最小，此时AF的方程为)1(13024xy即y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为(2,21)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（1,41）过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=41，∴Q(1,41)点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。3/13xy0ABCMD5（1）PFPA的最小值为（2）PFPA2的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解：（1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当P是FA的延长线与椭圆的交点时,PFPA取得最小值为4-5。（2）3作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=21，∴PHPFPHPF2,21即∴PHPAPFPA2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MDMC）。解：如图，MDMC，∴26MBMADBMBMAAC即∴8MBMA（*）∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为1151622yx4/13点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222yxyx，再移项，平方，⋯相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=53sinA2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BCACAB53即6ACAB（*）∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） 2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4所求轨迹方程为116922yx（x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段...
