专题2.3三角恒等变换中角的变换技巧一、问题的提出三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上,对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点.二、问题的探源1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα．(2)cos2α＝cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．半角的正弦、余弦、正切公式(1)sinα2＝±1－cosα2.(2)cosα2＝±1＋cosα2.(3)tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.三、问题的佐证(一)非特殊角的求值问题例1.计算：cos102sin20sin10__________.【答案】3【解析】cos102sin20sin100000000000000102sin3010102sin30cos102cos30sin102cos30sin103sin10sin10sin10coscos点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等例2.sin15cos15的值为（）A.22B.22C.62D.62【答案】C(二)利用已知条件中的角表示目标中的角例3.(1)已知α，β为锐角，sinα＝817，cos(α－β)＝2129，则cosβ的值为________．解：∵sinα＝817<12，α∈0，π2，∴0<α<π6.∵cos()α－β＝2129<32，α－β∈－π2，π2，0＜β＜π2，∴－π2<α－β<0.∴cosα＝1－sin2α＝1－8172＝1517.sin(α－β)＝－1－cos2（α－β）＝－1－21292＝－2029.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝1517×2129＋817×－2029＝155493.故填155493.（2）已知3cos63，则sin26的值为（）A.223B.13C.13D.223【答案】B【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．(三)利用诱导公式转化角例4.已知534sin)3sin(，02，)32cos(等于（）A．54B．53C．53D．54解：33sin()sinsincoscossinsinsincos3sin()333226，所以4sin()65，由于02，所以366，因此3cos()65，则24cos()cos[()]sin()36265.故选D.四、问题的解决1.若31)6sin(，则)232sin(（）A．97B．31C．31D．97【答案】A【解析】由227sin(2)sin[(2)]sin(2)2sin()cos()333669，故选A.2.cos104sin80sin10等于（）A．3B．3C.2D．223【答案】B【解析】原式cos104cos10sin102sin20cos10sin102sin3010cos10sin103．3.已知1cos63x，则coscos3xx（）A.32B.3C.12D.33【答案】D4.已知2sin16，则2cos23（）A.12B.12C.32D.32【答案】B【解析】∵1sin62，∴1cosα32∴221cos2cos2α2cosα13332，故选：B5.在ABC中，53sin,cos135AB，则cosC的值为（）A.1665B.5665C.1665或5665D.5665【答案】A6．tan)tan(,0cos5)2cos(3则的值为（）A．4B．4C．4D．1【答案】C【解析】3cos25cos0，化简得8coscos2sinsin，即tantan4.7．已知2sin,53)sin(,1312)cos(,432则（）A.6556B.6533C.5665D.6533【答案】B【解析】∵432，1312cos，∴135cos1sin2，∵53sin，∴54sin1cos2，则cos2cos33coscossinsin65，故选项为B.8．若tantan3，且3sinsin5，则cos的值为__________．【答案】459.在ABC中，若sin22sinABB，则tanB的最大值为__________．【答案】33【解析】2coscos2sin2sinsinABABBQ，sin2cos22cosBAsinAB，22222cos2tantan,2cos23sincos3tan1sinAsinAAABAAAAQ若tan0A，则tan0,,BAB均为钝角，不可能，故22tan3tan0,tan3tan13AABA，tanB的最大值为33，故答案为33.10.tan10tan50tan10tan1303oooo__________．【答案】33【解析】由tan10tan50tan60tan105031tan10tan50ooooooo，及tan130tan50oo，可得tan5031tan10tan50ooo，所以tan10tan5033tan10tan1303oooo.11.若1sincos3，0，则sin2cos2__________．【答案】8179【解析】由103sincos，（，），两边平方得：22129sincossincos，∴829sincos，①∵0（，），可得2（，），结合1sincos3，可得324（，），则322（，），由①得，829sin，则cos2=28171()99．∴817817sin2cos2999．12.已知ππ10,,sin263，则cos的值为____．【答案】2616
