第三讲柯西不等式与排序不等式专题检测试卷(三)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．设a1≤a2≤a3⋯≤an，b1≤b2≤b3⋯≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为()A．反序和≥乱序和≥顺序和B．反序和＝乱序和＝顺序和C．反序和≤乱序和≤顺序和D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案C2．已知m2＋n2＝2，t2＋s2＝8，则|mt＋ns|的最大值为()A．2B．4C．8D．16答案B解析 (m2＋n2)(t2＋s2)≥(mt＋ns)2，∴(mt＋ns)2≤2×8＝16，∴|mt＋ns|≤4.当且仅当ms＝nt时，等号成立．3．已知a，b，c为正数，则(a＋b＋c)1a＋b＋1c的最小值为()A．1B.3C．3D．4答案D解析(a＋b＋c)1a＋b＋1c＝[(a＋b)2＋(c)2]1a＋b2＋1c2≥a＋b·1a＋b＋c·1c2＝22＝4，当且仅当a＋b＝c时取等号．4．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值是()A.5B.3C．23D.32答案B解析1＝a＋b＋4c＝(a)2＋(b)2＋(2c)2＝13[(a)2＋(b)2＋(2c)2]·(12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2·13，∴(a＋b＋2c)2≤3，即当且仅当a＝b＝4c时等号成立．5．函数f(x)＝1－cos2x＋cosx，则f(x)的最大值是()A.3B.2C．1D．2答案A解析由f(x)＝1－cos2x＋cosx，得f(x)＝2sin2x＋cosx≤2＋1sin2x＋cos2x＝3.当且仅当cosx＝33时取等号.6．设a，b，c均为实数，则a＋b＋ca2＋2b2＋3c2的最大值为()A.116B.666C.62D.116答案B解析由(a2＋2b2＋3c2)1＋12＋13≥a·1＋2b·12＋3c·132，即(a2＋2b2＋3c2)·116≥(a＋b＋c)2，∴a＋b＋c2a2＋2b2＋3c2≤116.∴a＋b＋ca2＋2b2＋3c2≤666.7．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，则M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)与4的大小关系是()A．M＞4B．M＜4C．M≥4D．M≤4答案C解析(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝[(ax1)2＋(bx2)2]·[(bx1)2＋(ax2)2]≥[ab(x1＋x2)]2＝(x1＋x2)2＝4.8．已知x＋y＋z＝1，则2x2＋3y2＋z2的最小值为()A.211B.311C.511D.611答案D解析 (2x2＋3y2＋z2)·12＋13＋1≥(x＋y＋z)2＝1，∴2x2＋3y2＋z2≥611.当且仅当2x12＝3y13＝z1时，等号成立．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．函数y＝5x－1＋10－2x的最大值为__________．答案63解析由柯西不等式，得y＝5x－1＋2·5－x≤52＋2·x－1＋5－x＝27×2＝63，当且仅当55－x＝2x－1，即x＝12727时，等号成立．10．如图，在矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和．答案≥解析由题图可知，阴影部分的面积等于a1b1＋a2b2，而空白部分的面积等于a1b2＋a2b1，根据顺序和≥反序和可知，答案为≥.11．已知0＜x＜1,0＜y＜1，则函数f(x)＝x2＋y2＋1－x2＋1－y2的最小值是________．答案2解析由三角不等式，得x2＋y2＋1－x2＋1－y2≥[x－x－1]2＋[y－y－1]2＝2.当且仅当x＝1－x，y＝1－y，即x＝12，y＝12时，等号成立．故f(x)的最小值为2.12．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为______，此时b＝________.答案－18(4，－2，－4)解析根据柯西不等式的向量形成，有|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤－22＋12＋22×6＝18.当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18.∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)13．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，求2a＋2b＋2c的最小值．解 (a＋b＋c)2a＋2b＋2c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]·2a2＋2b2＋2c2≥a·2a＋b·2b＋c·2c2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．∴2a＋2b＋2c≥2，∴2a＋2b＋2c的最小值为2.14．(2017·江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.15．已知二次三项式f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1x2＝1时，必有f(x1)f(x2)≥1.证明f(x1)f(x2)＝(ax21＋bx1＋c)·(ax22＋bx2＋c)≥[a(x1x2)2＋bx1x2＋c]2＝f2(x1x2)＝f2(1)＝1.故f(x1)f(x2)≥1.16．已知x2＋2y2＋3z2＝1817，求3x＋2y＋z的最小值．解(x2＋2y2＋3z2...
