高中数学随机变量及其分布2离散型随机变量的方差学案含解析VIP专享VIP免费

2．3.2离散型随机变量的方差A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量．提示：样本方差．1．定义设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2⋯xi⋯xnPp1p2⋯pi⋯pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，⋯，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝i＝1nxi－EX2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．2．意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离平均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．3．性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．4．两点分布和二项分布的方差XX服从两点分布X～B(n，p)D(X)p(1－p)(p为成功概率)np(1－p)1．方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散程度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中，稳定性越差，波动性越大．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2,3,4)．现从袋中任取一个球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝a(X)＋b(a，b∈R)，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．(1)X的分布列为X01234P1212011032015∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.∴D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．3．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．编号为1,2,3的三位同学随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为X，求D(X)．解：由题意可知，X的所有可能的取值为0,1,3.P(X＝0)＝23！＝13；P(X＝1)＝33！＝12；P(X＝3)＝13！＝16.所以，X的分布列为X013P131216E(X)＝0×13＋1×12＋3×16＝1，D(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16＝1.求两点分布、二项分布的方差、标准差某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的正品数的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所以由D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10，0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差DX≈0.44.解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率)．一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件相互独立，并且概率都是13.设X为这人途中遇到红灯的次数，求X的均值和方差．解：由题意知X～B6，13，∴E(X)＝np＝6×13＝2，D(X)＝np(1－p)＝6×13×1...