1/14物理解题中的递推公式商洛中学杨玉良分析一些同类特殊事例，确切判断出它们所共有的因果联系和特征，作出一般结论。这种由特殊推出一般的推理方法叫归纳推理。物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的。归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况，即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。常用它来研究运动规律已知，在一定条件下连续进行的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题。它具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解；或导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。1、如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后，其速率将减小，从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小。而每次两球碰撞后，绝缘球的速率是有规律性的变化，要求解本题题设条件下的碰撞次数，关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律。【解】方法1．根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。设小球m的摆线长度为l，绝缘球第一次碰撞前的速度为v0，碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v1、V1，设速度向左为正，小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：，①2/14m和M碰撞过程满足：mv0=MV1+mv1，②，③联立②、③得：，由于v1<0，说明绝缘球被反弹，而后绝缘球又以反弹速度的大小和金属球M发生碰撞，设第二次碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为v2、V2，满足：m|v1|=MV2+mv2，④，⑤由④、⑤解得：，整理得：同理第三次碰撞后绝缘球的速率v3为：，由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn，所以：，⑥经过第n次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°，则，⑦联立①、⑥、⑦代入数据解得，（0．81）n=0．586，当n=3时，碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。方法2．导出联系相邻两次作用的递推关系式，再把结论推广，后结合数学知识求解。3/14设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn和Vn-1，由于碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等，则mvn-1=MVn+mvn，，解得，由以上归纳推理得到第n次碰撞后绝缘球的速率为vn，，再利用方法1的求解可得到结论。2、某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如题25图所示。用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3⋯⋯N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1)。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞⋯⋯所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10m/s2）（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为vn，求n+1号球碰撞后的速度。（2）若N＝5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k（16h小于绳长）问k值为多少？解：（1）设n号球质量为m，n+1，碰撞后的速度分别为,1nnvv、取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0、mn+1nkm4/14根据动量守恒，有1nnvnvvkmEmvm①根据机械能守恒，有221nnvm=1222121nnnnvkmvm②由①、②得)0(1211舍去nnnvkEv设n+1号球与n+2号球碰前的速度为En+1据题意有vn－1=1nv得vn－1=1nv=kEn12③（2）设1号球摆至最低点时的速度为v1，由机械能守恒定律有211121vmghm④v1=gh2⑤同理可求，5号球碰后瞬间的速度kgv1625⑥由③式得111212vkkkvnn⑦N=n=5时，v5=1112vkvnn⑧由⑤、⑥、⑧三式得k=12)12(414.0舍去k⑨（3）设绳长为l，每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F，由牛顿第二定律有lvmgmFnnn2⑩5/14则...
