１/19第11章常微分方程习题课一.内容提要1.基本概念含有一元未知函数)(xy(即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的)(xy的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间I上成为恒等式的函数y)(x称为此微分方程在I上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若n阶微分方程的解中含有n个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出)1(,,,nyyy在同一点0x处的值)时,称为初值问题.2.一阶微分方程),(yxfy的解法(1)对于可分离变量方程)()(ddyxxy,先分离变量(当0)(y时)得xxyψyd)()(d,再两边积分即得通解Cxxyyd)()(d.(2)对于齐次方程ddyyfxx,作变量代换xyu,即xuy,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得Cxxuufud)(d,再以xy代替u便得到齐次方２/19程的通解.(3)形如)(111ddcybxacbyaxfxy的方程,①若1,cc均为零,则是齐次方程;②若1,cc不全为零,则不是齐次方程,但当kbbaa11时,只要作变换ybxav11,即可化为可分离变量的方程111)(ddacvckvfbxv;当11bbaa时,只要作平移变换00yyYxxX,即00yYyxXx(其中),(00yx是线性方程组00111cybxacbyax的惟一解),便可化为齐次方程)(dd11YbXabYaXfXY.(4)全微分方程若方程0d),(d),(yyxQxyxP之左端是某个二元函数),(yxuu的全微分,则称其为全微分方程,显然Cyxu),(即为通解,而原函数),(yxu可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得.通常用充要条件xQyP来判定0d),(d),(yyxQxyxP是否为全微分方程.对于某些不是全微分方程的0d),(d),(yyxQxyxP,可乘上一个函数),(,yx使之成为全微分方程0d),(d),(yyxQxyxP３/19(注意到当0),(yx时0d),(d),(yyxQxyxP与原方程同解),并称),(,yx为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.(5)一阶线性微分方程)()(xQyxpy的通解公式当)(xQ不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当)(xQ恒为零,时,即0)(yxpy称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程,易知其通解为xxpCYd)(e;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解)(de)(ed)(d)(xxQCyxxpxxp.(6)对于Bernoulli方程nyxQyxpy)()((1,0n),只需作变换nyz1,即可化为一阶线性方程)()1()()1(ddxQnzxpnxz.3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程)()(xfyn,令)1(nyz化为)(xfz;在实际求解中,只要对方程连续积分n次,即得其通解nnnnCxCxCxxfxy111d)(d次.(2)对于),(yxfy(不显含y),作变换yP,则Py,于是化一阶方程),(PxfP;显然对),()1()(nnyxfy可作类似处理.(3)对于),(yyfy(不显含x),作变换yP,则yPPydd,于是可化为一阶方程),(ddPyfyPP.４/194.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.(2)线性齐次微分方程解的结构若nyyy,,,21是n阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为nnycycycY2211.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y,等于其对应的齐次方程的通解Y与其自身的一个特解y之和,即yYy.(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1设ky(mk,,2,1)是方程)()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpyknnnn的解,则mkky1是方程mkknnnnxfyxpyxpyxpy11)1(1)()()()()(的解.2若实变量的复值函数)(i)(xvxu是方程yxpyxpyxpynnnn)()()(1)1(1)()(i)(21xfxf的解,则此解的实部)(xu是方程)()()()(11)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn的解;虚部)(xv是方程５/19)()()()(21)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn的解.(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1写出01)1(1)(ypypypynnnn的特征方程0111nnnnprprpr，并求特征根；2根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见下表)特征根r为给出通解中的单实根1项:rxCek重实根k项:)(e121kkrxxCxCC一对单复根i2,1r2项:)sincos(e21xCxCx一对k重复根i2,1r2k项:xxCxCCkkxcos)[(e121]sin)(121xxDxDDkk(2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐...
