高等数学下册重点和解题方法VIP专享VIP免费

第1页共35页高等数学下册重点加方法第2页共35页第八章多元函数的微分学多元函数的概念我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往是两个，或者更多。例：一个圆柱体的体积与两个独立变量r,h有关。`我们先以二个独立的变量为基础，来给出二元函数的定义。二元函数的定义设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与y的二元函数。记作：z=f(x,y).其中x与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域。关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域。如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：例题：求的定义域.解答：该函数的定义域为：x≥,y≥0.二元函数的几何表示把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函数值z；第3页共35页当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A，那么就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。这种极限通常称为二重极限。下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足的一切(x,y)都使不等式成立，那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：二重极限的运算法则如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；(2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：二元函数的连续性如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。第4页共35页关于二元函数间断的问题二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。例题：求下面函数的间断线解答：x=0与y=0都是函数的间断线。偏导数在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的"变化率"。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。偏导数的定义设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0)....