高考复数的知识题型总结一、复数的有关概念（1）复数1.定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.（i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1）2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），叫做复数的代数形式，a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.（注意b是虚部而不是bi）（2）复数集1.定义：全体复数所成的集合叫做复数集.2.表示：大写字母C.（3）复数的分类复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系(4)复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝da＋bi＝0?a＝b＝0.（a,b,c,d均为实数）说明：要求复数相等要先将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部.二、复平面的概念点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)三、复数的两种几何意义（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）→对应复平面内的点Z（a，b）.（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）→平面向量→OZ四、复数的模复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|，且注意：两个虚数是不可以比较大小的，但它们的模表示实数，可以比较大小.五、复数的运算设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.z1与z2的乘法运算律：z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.z1与z2的除法运算律：z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)=（分母要利用平方差实数化）六、共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。例如=3＋5i与=3－5i互为共轭复数2.共轭复数的性质（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2）（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称七、常用结论（1），（2）ii212（3）ii1（4）iii11（5）iii11（6）22babiabia题型分类题型一：复数定义的考查1.设有下面四个命题：：若复数z满足，则；：若复数z满足，则；：若复数，满足，则；：若复数，则．其中的真命题为A.，B.，C.，D.，解：若复数z满足，则，故命题为真命题；：复数满足，则，故命题为假命题；：若复数，满足，但，故命题为假命题；：若复数，则，故命题为真命题．故选B．2.下列命题：①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（）A.①B.②C.③D.④解：对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数.①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误②，两个虚数不能比较大小，则②错误.③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，则③错误.④，显然正确.故选D.3.给出下列命题：若，则；若a，，且，则；若，则是纯虚数；若，则在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________填上所有正确命题的序号．解：若，则不成立．比如；因为复数不能比较大小，所以不成立；，则不一定是纯虚数，比如就不是纯虚数，故不成立；，则对应的点在复平面内的第一象限，故成立．故答案为：．4.关于复数，下列命题：若，则；若z是实数，则；若zi是纯虚数，则；若，则．其中真命题个数为A.1B.2C.3D.4解：若，即，得，所以，故为真命题；因为，若z是实数，则，故为真命题；因为，，若zi是纯虚数，则，故为真命题；因为，即，从而可得，解得：，即，故假命题．综上，其中真命题有：，共3个．题型二、复数分类1.设，．若是纯虚数，求实数x的取值范围；若，求实数x的取值范围．解：依题意得所以实数x的取值范围是依题意得所以检验：当时，，满足符合题意．所以实数x的取值范围是．2.当实数a为何值时．为纯虚数；为实数；对应的点在第一象限．解：复数z是纯虚数，则由，得，即．若复数z是实数，则，得或...
