小题专项练习(四)三角恒等变换与正余弦定理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·云南省昆明第一中学第八次月考]若sinα＝13，则cos2α2＋π4＝()A.23B.12C.13D．02．[2018·辽宁省重点高中第三次模拟]已知α∈0，π2，sinα＝1717，则tanα－π4＝()A.35B．－35C.73D．－733．[2018·广西钦州高三检测]在△ABC中，∠C＝π4，AB＝2，AC＝6，则cosB的值为()A.12B．－32C.12或－32D.12或－124．[2018·江西师大附中三模]已知sinα－π4＝35，α∈π2，5π4，则sinα＝()A.7210B．－210C．±210D．－210或72105．[2018·成都第三次诊断性检测]当α∈π2，π时，若sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，则sinα－cosα的值为()A.23B．－23C.43D．－436．[2018·合肥第三次教学质量检测]若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝12sinB，且b＝4，则c2－a2＝()A．10B．8C．7D．47．[2018·舒城仿真试题三]若2cos2θcosπ4＋θ＝3sin2θ，则sin2θ＝()A．－13B．－23C.13D.238．[2018·安徽马鞍山高三第三次模拟]已知sinα－2cosα＝3，则tanα＝()A．±22B．±2C．－2D．－229．[2018·山东烟台适应性练习]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin2A＋3asinB＝0，b＝3c，则ca的值为()A．1B.33C.55D.7710．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，tanπ4－A＝12，且△ABC的面积为25，则a＋b的值为()A．5＋55B．5C．105D．5＋10511．[2018·衡水联考]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知absinC＝20sinB，a2＋c2＝41，且8cosB＝1，则b＝()A．6B．42C．35D．712．如图，在海岸线上相距26千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西π2－α方向，且cosα＝63，则BC之间的距离是()A．303千米B．30千米C．123千米D．12千米二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2018·河南洛阳第三次统考]已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sinα＋2cosαsinα－cosα＝________.14．[2018·江苏南师附中四校联考]已知tanπ4＋θ＝3，则sinθcosθ－3cos2θ的值为________．15．[2018·广西钦州第三次质量检测]△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a＝52b，A＝2B，则cosB＝________.16．[2018·高考押题预测卷]如图，在△DEF中，M在线段DF上，EM＝DE＝3，DM＝2，cos∠F＝35，则△MEF的面积为________．小题专项练习(四)三角恒等变换与正余弦定理1.Ccos2α2＋π4＝1＋cosα＋π22＝1－sinα2＝13，故选C.2．B sinα＝1717，α∈0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝41717，∴tanα＝14，∴tanα－π4＝tanα－tanπ41＋tanα·tanπ4＝－35，故选B.3．D由正弦定理得6sinB＝2sinπ4，∴sinB＝32，又6>2，B∈(0，π)，∴B＝π3或B＝2π3，∴cosB＝12或cosB＝－12，故选D.4．B α∈π2，5π4，∴α－π4∈π4，π，∴sinα－π4＝35<22，∴α－π4∈π2，π，∴cosα－π4＝－45，∴sinα＝sinα－π4＋π4＝sinα－π4cosπ4＋cosα－π4cosπ4＝35×22＋－45×22＝－210，故选B.5．C sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，∴sinα＋cosα＝23，∴1＋2sinαcosα＝29，∴2sinαcosα＝－79，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝169，又α∈π2，π，sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝43，故选C.6．B由sin(C－A)＝12sinB，得2sin(C－A)＝sin(C＋A)，∴2sinCcosA－2cosCsinA＝sinCcosA＋cosCsinA，∴sinCcosA＝3cosCsinA，由正余弦定理，得c·b2＋c2－a22bc＝3a·a2＋b2－c22ab，得4c2－4a2＝2b2＝2×16＝32，∴c2－a2＝8，故选B.7．B由2cos2θcosπ4＋θ＝3sin2θ，得2cos2θ－sin2θ22cosθ－sinθ＝23sinθcosθ，即2(cosθ＋sinθ)＝23sinθcosθ，∴1＋2sinθcosθ＝3sin2θcos2θ，∴sinθcosθ＝－13，或sinθcosθ＝1(舍)，∴sin2θ＝－23，故选B.8．D由sinα－2cosα＝3，得sin2α－22sinαcosα＋2cos2α＝3sin2α＋3cos2α，∴2sin2α＋22sinαcosα＋cos2α＝0，...
