考点48正态分布【考纲要求】利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【命题规律】在选择题、填空题考查较多,属容易题,分值5分,在解答题中结合其他知识考查属中等题.【典型高考试题变式】正态分布例1.【2017课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N.(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数,求(1)PX及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx,16162221111()(16)0.2121616iiiisxxxx,其中ix为抽取的第i个零件的尺寸,1,2,,16i.用样本平均数x作为的估计值?,用样本标准差s作为的估计值?,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除????(3,3)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布2(,)N,则(33)0.9974PZ,160.99740.9592,0.0080.09.【分析】(1)根据题设条件知一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974,则零件的尺寸在(3,3)之外的概率为0.0026,而~(16,0.0026)XB,进而可以求出X的数学期望.(2)(i)判断监控生产过程的方法的合理性,重点是考虑一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率是大还是小,若小即合理;(ii)根据题设条件算出的估计值和的估计值,剔除????(3,3)之外的数据9.22,算出剩下数据的平均数,即为的估计值,剔除????(3,3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差,即为的估计值.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为0.0026,故~(16,0.0026)XB.因此16(1)1(0)10.99740.0408PXPX.X的数学期望为160.00260.0416EX.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念,反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时,首先要分清事件的构成与性质,确定离散型随机变量的所有取值,然后根据概率类型选择公式,计算每个变量取每个值的概率,列出对应的分布列,最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布,之前考过一次,尤其是正态分布的3原则.【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.【答案】14【变式2】【广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店1月份中5天的日销售量y(单位:千克)与该地当日最低气温x(单位:Co)的数据,如下表:x258911y1210887(1)求出y与x的回归方程???ybxa;(2)判断y与x之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为6Co,请用所求回归方程预测该店当日的销售量;(3)设该地1月份的日最低气温X~2,N,其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差2s,求(3.813.4)PX.附:①回归方程???ybxa中,1221?niiiniixynxybxnx,???aybx.②103.2,3.21.8,若X~2,N,则()0.6826PX,(22)0.9544PX.【解析】(1)因为令5n,113575niixxn,114595niiyyn,所以128757928niiixynxy,22212955750niixnx所以280.5650?b所以90.56712.?92??aybx(或者:32325)所以所求的回归方...