1．（15分）已知函数f（x）=21nx+ax2﹣1（a∈R）（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．（i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2＞2．2.（15分）设函数xexfxsin)(，2)(xxg；（1）求证：函数)(xfy在),0[上单调递增；（2）设))(,(11xfxP，22(,())Qxgx)0,0(21xx，若直线PQx//轴，求QP,两点间的最短距离.3．（本小题满分15分）已知函数()1ln(02)2xfxxx.(Ⅰ)是否存在点(,)Mab，使得函数()yfx的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数()yfx的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义2111221()()()()nniinSffffnnnn，其中*nN，求2013S；（Ⅲ）在（2）的条件下，令12nnSa，若不等式2()1namna对*nN，且2n恒成立，求实数m的取值范围.4．（本小题满分15分）已知函数()fx的定义域为(0,)，若()fxyx在(0,)上为增函数，则称()fx为“一阶比增函数”；若2()fxyx在(0,)上为增函数，则称()fx为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2.[来源:.Com](Ⅰ)已知函数32()2fxxhxhx，若1(),fx且2()fx，求实数h的取值范围；(Ⅱ)已知0abc，1()fx且()fx的部分函数值由下表给出，xabcabc()fxddt4求证：(24)0ddt；(Ⅲ)定义集合2()|(),,(0,)(),fxfxkxfxk且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M，使得()fx，(0,)x，有()fxM成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由.5.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.（Ⅰ）求函数f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值.6.（本小题满分12分）设a≥0，函数f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]ex，g(x)＝2－a－x－41x.（Ⅰ）当a≥1时，求f(x)的最小值；（Ⅱ）假设存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得|f(x1)－g(x2)|＜1成立，求a的取值范围.7.（本小题满分12分）设函数()(1)(1)1xfxaxeax.（Ⅰ）证明：当0a，()0fx；（Ⅱ）设当0x时，()0fx，求a的取值范围.8．（本小题满分12分）：已知函数()ln(1)2afxxx（1）当254a时，求()fx的单调递减区间；（2）若当0x时，()1fx恒成立，求a的取值范围；（3）求证：1111ln(1)()35721nnNnL9．（本小题14分）已知函数).(ln2)12(21)(2Raxxaaxxf（1）若曲线)(xfy在1x和3x处的切线互相平行，求a的值；（2）求)(xf的单调区间；（3）设,2)(2xxxg若对任意],2,0(1x均存在],2,0(2x使得),()(21xgxf求a的取值范围。10．（本小题14分）设函数2()()fxxxa（xR），其中aR（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a时，证明存在10k，，使得不等式22(cos)(cos)fkxfkx≥对任意的xR恒成立11.(2014年1月青浦)**(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分，第(3)小题8分.设集合1()(0,),()()Mfxxfxfx.（1）已知函数2()(0)1xfxxx，求证：()fxM;（2）对于（1）中的函数()fx，求证：存在定义域为[2,)的函数()gx，使得1()()gxfxx对任意0x成立.（3）对于任意()fxM，求证：存在定义域为[2,)的函数()gx，使得等式1()()gxfxx对任意0x成立.12.己知函数()ln1fxxax在2x处的切线斜率为1.2(1)求实数a的值及函数()fx的单调区间；(2)证明：)2,()1(412ln33ln22ln*2222nNnnnnnn1.（I）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=令f′（x）＞0， x＞0，∴2ax2+2＞0①当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）递增区间是（0，+∞）；②当a＜0时，由2ax2+2＞0可得＜x＜x＞0，∴f（x）递增区间是（0，），递减区间为；（6分）（Ⅱ）（i）解：设F（x）=f（1+x）+f（1﹣x）=2ln（1+x）+2ln（1﹣x）+2x2,,则F’（x）= 0＜x＜l，∴F′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴F（x）在（0，1）上为减函数∴F（x）＜F（0）=0，∴m≥0，∴实数m的取值范围为[0，+∞）；（10分）（ii）证明： f（x1）+f（x2）=0，∴21nx1+x12﹣1+21nx2+x22﹣1=0∴2lnx1x2+（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2=0∴（x1+x2）2=2x1x2﹣2lnx...
