2.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()A．双曲线B．一条直线C．一条线段D．两条射线[答案]D2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－10C．k≥0D．k>1或k<－1[答案]A[解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－10)C.－＝1或－＝1D.－＝1(x>0)[答案]D[解析]由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16B．18C．21D．26[答案]D[解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.10．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－aB．m－bC．m2－a2D.－[答案]A[解析]设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2.∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.二、填空题11．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．[答案]－＝1[解析]设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，∴，∴.12．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．[答案][解析] a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，该弦所在直线方程为x＝，由得y2＝，∴|y|＝，弦长为.13．如果椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，那么a＝________.[答案]1[解析]由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.14．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．[答案]－＝1(x≤－2)[解析]设动圆圆心为P(x，y)，由题意得|PB|－|PA|＝4<|AB|＝8，由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．其方程为：－＝1(x≤－2)．三、解答题15．讨论＋＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．[解析](1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，所给方程表示椭圆，此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(2)当90,9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)...
