3.1.2导数的几何意义一、选择题1．曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是()A．9B．6C．－3D．－1[答案]A[解析]Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6Δx2＋Δx3，＝9＋6Δx＋Δx2，lim＝lim(9＋6Δx＋Δx2)＝9，由导数的几何意可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是9.2．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°[答案]B[解析]Δy＝(－1＋Δx)3－×(－1)3＝Δx－Δx2＋Δx3，＝1－Δx＋Δx2，lim＝lim(1－Δx＋Δx2)＝1，∴曲线y＝x3－2在点处切线的斜率是1，倾斜角为45°.3．函数y＝－在点(，－2)处的切线方程是()A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4(x＋1)D．y＝2x＋4[答案]B[解析]Δy＝，＝，lim＝4，∴切线的斜率为4.∴切线方程为y＝4－2＝4x－4.4．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在[答案]B[解析]由导数的几何意义可知f′(x0)＝－<0，故选B.5．下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线[答案]C[解析]由于对导数在某点处的概念及导数的几何意义理解不透彻，不能认真分析题中所给选项，事实上A、B是一样的．它们互为逆否命题，讨论的是“f′(x0)存在与否”与切线存在与否的关系，而在导数的几何意义中讨论的是“切线的斜率”与“f′(x0)”，得C是正确的，而A、B、D都是不正确的，可一一举例说明．6．设f(x)为可导函数且满足lim＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2[答案]B[解析]lim＝lim＝lim＝f′(1)＝－1.7．在曲线y＝x2上的点________处的倾斜角为()A．(0,0)B．(2,4)C．(，)D．(，)[答案]D[解析]倾斜角的正切值即为斜率，设点(x0，y0)则k＝y′|x＝x0＝lim＝lim＝lim(2x0＋Δx)＝2x0＝1，∴x0＝，y0＝x＝，∴点坐标(，)．8．若函数f(x)的导数为f′(x)＝－sinx，则函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()A．90°B．0°C．锐角D．钝角[答案]C[解析]函数图像在点(4，f(4))处的切线斜率为f′(4)＝－sin4>0，所以函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为锐角．9．曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标是()A．(0,1)B．(－1，－5)C．(1,0)或(－1，－4)D．(0,1)或(4,1)[答案]C[解析]k＝lim＝lim＝lim[3x＋3x0Δx＋(Δx)2＋1]＝3x＋1＝4，∴3x＝3，即x0＝±1，∴点P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．10．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.C．－D．－1[答案]A[解析] y′|x＝1＝lim＝lim＝lim(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.二、填空题11．已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.[答案]12[解析]f′(2)＝lim＝lim＝lim[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]＝lim[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.12．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．[答案](2,4)[解析]设切点坐标为(x0，y0)，y′|x＝x0＝lim＝lim＝2x0－3＝1＝k，故x0＝2，y0＝x＝4，故切点坐标为(2,4)．13．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，x＝2所围成的三角形的面积为________．[答案][解析]y′＝lim＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，它与x轴的交点为，与x＝2的交点为(2,4)，所以S＝××4＝.14．曲线y＝x3＋x＋1在点(1,3)处的切线是________．[答案]4x－y－1＝0[解析]因为y′＝lim＝3x2＋1，所以k＝y′|x＝1＝3＋1＝4，所以切线的方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.三、解答题15．求曲线y＝x2＋3x＋1在点(1,5)处的切线的方程．[分析]→→[解析]y′|x＝1＝lim＝lim＝lim(5＋Δx)＝5，即切线的斜率k＝5，∴曲线在点(1,5)处的切线方程为y－5＝5(x－1)即5x－y＝0.16．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．(1)求a的值；(2)求切点的坐标．[解析]设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．f...
