第二章数列习题课（2）课时目标1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式；2．掌握数列求和的几种基本方法．1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.2．等比数列前n项和公式：(1)当q＝1时，Sn＝na1；(2)当q≠1时，Sn＝＝.3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3…＋＋an，则an＝.4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1)＝－；(2)＝(－)；(3)＝－.一、选择题1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于()A．1B.C.D.答案B解析 an＝＝－，∴S5＝(1－)＋(－)…＋＋(－)＝1－＝.2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为()A．11B．99C．120D．121答案C解析 an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.3．数列1，2，3，4…，的前n项和为()A.(n2＋n＋2)－B.n(n＋1)＋1－C.(n2－n＋2)－D.n(n＋1)＋2(1－)答案A解析1＋2＋3…＋＋(n＋)＝(1＋2…＋＋n)＋(…＋＋＋)＝＋＝(n2＋n)＋1－＝(n2＋n＋2)－.4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是()A．n(n＋2)B.n(n＋4)C.n(n＋5)D.n(n＋7)答案C解析a1＋a2…＋＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.5．已知Sn＝1－2＋3－4…＋＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于()A．0B．1C．－1D．2答案B解析S17＝(1－2)＋(3－4)…＋＋(15－16)＋17＝9，S33＝(1－2)＋(3－4)…＋＋(31－32)＋33＝17，S50＝(1－2)＋(3－4)…＋＋(49－50)＝－25，所以S17＋S33＋S50＝1.6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2…，，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于()A．2n－1B．2n－1－1C．2n＋1D．4n－1答案A解析由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，那么an＝a1＋(a2－a1)…＋＋(an－an－1)＝1＋2…＋＋2n－1＝2n－1.二、填空题7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．答案－68．在数列{an}中，an＋1＝，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.答案解析 an＋1＝，∴＝＋.∴是等差数列且公差d＝.∴＝＋(n－1)×＝＋＝，∴an＝.9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．答案1473解析100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6…＋＋99＝＝1683.100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S1－S2＝1683－210＝1473.10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn(n≥1)，则an＝____________.答案解析an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1，∴an＋2＝an＋1(n≥1)． a2＝S1＝，∴an＝.三、解答题11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝·＝·，所以Tn＝·(1…－＋－＋＋－)＝·(1－)＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝.12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)…＋＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3…＋＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25…＋＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27…＋＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25…＋＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．能力提升13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn答案A解析 an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－lnn.又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)…＋＋(an－an－1)＝2＋[ln2－ln1＋ln3－ln2＋ln4－ln3…＋＋lnn－ln(n－1)]＝2＋lnn－ln1＝2＋lnn.14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．解当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.当...
