定积分的概念VIP免费

1.5.3定积分的概念通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程，了解定积分的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定义求简单的定积分．本节重点：定积分的定义与性质．本节难点：定积分定义的理解．1．定积分定义中①关于区间[a，b]的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和．②关于ξi的取法也是任意的，实际在用定积分的定义计算定积分时为了方便，常把ξi都取为每个小区间的左(或右)端点．2．定积分的几何意义即由直线x＝a，x＝b，x轴和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积．从定积分的几何意义不难理解定的积分性质，即曲边梯形面积的和与差．3．当f(x)在区间[a，b]上f(x)<0时，abf(x)dx表示的含义是什么？当f(x)在区间[a，b]上值小于零时，abf(x)dx表示由y＝f(x)，x＝a，x＝b，y＝0所围成的图形的面积的相反数．1．定积分的概念定积分的性质①②称为定积分的线性性质．定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的定积分去实现．[例1]求01x3dx.[分析]这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定义中包含的几个步骤来求01x3dx.[解析](1)分割[0,1]：0＜1n＜2n＜…＜n－1n＜nn＝1.(2)近似代替：作和1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.＝i＝1nin3·1n.(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)(3)取极限：i＝1nin3·1n＝1n4i＝1ni3＝1n4n(n＋1)22＝141＋2n＋1n2，∴01x3dx＝limn→∞141＋2n＋1n2＝14.(此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝n(n＋1)22)[点评]求定积分的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和．体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积．因此01x3dx＝14.利用定积分的定义求ab2dx的值．[解析]令f(x)＝2.(1)分割：在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a，b]等分成n个小区间a＋(b－a)(i－1)n，a＋(b－a)in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为b－an.(2)近似代替、作和：取ξi＝a＋(b－a)in(i＝1,2，…，n)，则Sn＝i＝1nfa＋(b－a)in·b－an＝i＝1n2(b－a)n＝2(b－a)．(3)取极限：ab2dx＝limn→∞Sn＝limn→∞2(b－a)＝2(b－a).[分析]由于所给定积分为曲线y＝x3＋3x与x＝－1，x＝1及y＝0围成的曲边梯形面积，故由定义可求，但注意被积函数及积分上、下限特点可采用几何意义解决．[解析] y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与在x轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.[例2]求1－1(x3＋3x)dx.[点评]当曲边梯形在x轴下方时，积分值为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x轴所围成图形的面积的代数和．[解析](1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴(3x＋1)dx＝12×3＋13×(3×3＋1)－12－13＋1·2＝503－23＝16.[分析]由题目可获取以下主要信息：①被积函数形式上较为复杂；②积分的上、下限明确；解答本题可先根据积分的几何意义求出相关函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算．[解析](1)如图，[点评]求定积分时应注意利用定积分的性质及几何意义．(1)定积分的性质的推广①ab[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx±…±abfn(x)dx；②abf(x)dx＝f(x)dx＋c1c2f(x)dx＋…＋f(x)dx(其中n∈N＋)．(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分①若奇函数y＝...