2.2.2椭圆的几何性质(二)一、基础过关1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于()A.B．2C．4D.2．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为()A.B.D.D.3．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是()A．[4－2，4＋2]B．[4－，4＋]C．[4－2，4＋2]D．[4－，4＋]4.“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：()①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④<.A．①③B．②③C．①④D．②④5．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4B．4C．8D．86．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p千米，远地点距地面q千米，若地球半径为r千米，则运行轨迹的短轴长为______________．7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，求椭圆的方程．二、能力提升8．P是长轴在x轴上的椭圆＋＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是()A．1B．a2C．b2D．c29．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B.C.D.10．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在双曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是__________．11.如图，在直线l：x－y＋9＝0上任意取一点M，经过M点且以椭圆＋＝1的焦点作为焦点作椭圆，问当M在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？12．点A是椭圆＋＝1(a>b>0)短轴上位于x轴下方的顶点，过A作斜率为1的直线交椭圆于P点，B点在y轴上且BP∥x轴，AB·AP＝9.(1)若B(0,1)，求椭圆方程；(2)若B(0，t)，求t的取值范围．三、探究与拓展13．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．答案1．C2．B3．A4．B5．C6．27．解∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3.∴＝.∴c＝2，b2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.8．D9．C10．②③11．解椭圆的两焦点分别为F1(－3,0)、F2(3,0)，作F1关于直线l的对称点F′1，则直线F1F′1的方程为x＋y＝－3，由方程组，得P的坐标(－6,3)，由中点坐标公式得F′1坐标(－9,6)，所以直线F2F′1的方程为x＋2y＝3.解方程组，得M点坐标(－5,4)．由于|F′1F2|＝＝2a＝6.所以M点的坐标为(－5,4)时，所作椭圆的长轴最短，最短长轴为6.12．解(1)由题意知B(0,1)，A(0，－b)，∠PAB＝45°.AB·AP＝|AB|·|AP|cos45°＝(b＋1)2＝9，得b＝2.∴P(3,1)，代入椭圆方程，得＋＝1，∴a2＝12，故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)若B(0，t)，由A(0，－b)得|AB|＝|t＋b|＝t＋b(B在A点上方)．将P(3，t)代入椭圆方程，得＋＝1，∴a2＝.∵a2>b2，∴>b2.①又|AB|＝t＋b＝3，∴b＝3－t.代入①式得>1，解得02)，其离心率为，故＝，解得a＝4.故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.又由OB＝2OA，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
