第1章解三角形§1.1正弦定理(一)一、基础过关1．在△ABC中，下列等式中总能成立的是________．①asinA＝bsinB;②bsinC＝csinA；③absinC＝bcsinB;④asinC＝csinA.2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为________三角形．3．在△ABC中，已知a∶b∶c＝3∶4∶5，则＝________.4．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B＝________.5．在△ABC中，若b＝5，B＝，sinA＝，则a＝________.6．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.7．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.8．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.二、能力提升9．在△ABC中，sinA＝，a＝10，则边长c的取值范围是________．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C＝________.11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．12．在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，求A的值．三、探究与拓展13．已知△ABC的外接圆半径为R，C＝60°，求的取值范围．答案1．④2.直角3.4.或π5.6.7．解∵＝，∴a＝＝＝10.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵＝，∴b＝＝＝20sin75°＝20×＝5(＋)．8．证明因为左边＝4R2sin2A·sin2B＋4R2sin2B·sin2A＝8R2sin2AsinBcosB＋8R2sin2B·sinAcosA＝8R2sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsin(A＋B)＝8R2sinA·sinBsinC＝2·(2RsinA)·(2RsinB)·sinC＝2absinC＝右边，∴等式成立．9.10.120°11.12．解∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化简得：sinA＝cosA，∴tanA＝，∴A＝30°.13．解＝2＝2(sinA＋sinB)＝2(sinA＋sin(120°－A))＝2(sinA＋sin120°cosA－cos120°sinA)＝2＝2＝2sin(A＋30°)．∵A＋B＝120°，∴0°＜A＜120°.∴30°＜A＋30°＜150°，∴＜sin(A＋30°)≤1，∴＜≤2.
