章末检测一、填空题1．在△ABC中，－－＝________.2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为________．3．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则BA·AC＝________.4．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c＝______.5．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝________.6．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC＝________.7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝______.8．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/时．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝________.10．在△ABC中，cos2<(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC为________三角形．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a与b的大小关系是______________．12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为______．13．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．14．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝6cosC，则＋＝________.二、解答题15．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA.(1)求角B的大小；(2)若a＝3，c＝5，求b.16.如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．17．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长．19.如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？20．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.(1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．答案1．02.60°3.－4.2或5.16.7.28.109.110．钝角11．a>b12.或13.100014.415．解(1)由a＝2bsinA，根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝.由△ABC为锐角三角形，得B＝.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝27＋25－45＝7，所以b＝.16．解设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，由∠ABC＝180°－105°＋45°＝120°，根据余弦定理知(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos120°，∴t＝2或t＝－(舍去)．答我艇追上走私船所需要的时间为2小时．17．(1)证明 m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆的半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC＝absinC＝×4×sin＝.18．解(1)由正弦定理，可设＝＝＝k，则＝＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝2.(2)由＝2，得c＝2a.由余弦定理及cosB＝，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.19．解如图所示，连结A1B2，由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，得A1B1...
