利用空间向量求空间角VIP专享VIP免费

利用空间向量求空间角向量的直角坐标运算则设),,(),,,(321321bbbbaaaa;ab;ab;a;ab//;.ab;ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,),()aaaR112233ababab112233,,()abababR1122330ababab距离与夹角2222123||aaaaaa1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。),,(321aaaa||��ABABABAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()ABdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz（2）空间两点间的距离公式cos,||||ababab112233222222123123;abababaaabbb2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab思考：当及时，的夹角在什么范围内？1cos,0ab,10cosab一、直线的方向向量定义直线L上的向量以及与向量共线的向量叫直线L的方向向量.•例：直线L过点P(-2,3,1),Q(1,0,-1)，则直线L的一个方向向量为______ee(3,-3,-2)答案：Lee二、平面的法向量定义如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记作⊥α．此时，我们把向量叫做平面α的法向量．nnnnαnn与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此平面的法向量就是平面法线的方向向量异面直线所成角||||||cos,,,,,2121baballllba则的所成的角为的方向向量分别是两直线l1l2ab1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1.求异面直线AB1与BC1夹角的余弦值.A1B1C1ABC巩固性训练1XZZY0107异面直线A1B1C与B的夹角的余弦值为直线与平面所成角已知平面α的一条斜线PA,平面α的一个法向量为,PA与α的所成角为θ,则n||||||sinnPAnPAαPAθn巩固性训练2DACD'BA'C'B'xyzE2.如图,正方体ABCD-A’B’C’D’的边长为1,E是A’B’的中点,直线AB与平面BDE的所成角为θ,求cosθ.35∴cos=二面角||||cos,-,,,nmnmlnm则的大小为二面角的法向量分别是两平面αβlmn巩固性训练3PABC3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB,求二面角B-PC-D大小.xyzD由图可知,二面角B-PC-D的大小为12004.(05高考)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,BAD=90∥∠0,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=,AB=1，M是PB的中点。(1)证明：面PAD⊥面PCD；(2)求AC与PB所成的角余弦值；(3)求直线PD与平面PBC所成的角；21510)2(..(4)求面AMC与面BMC所成二面角余弦值。32)4(（3）arcsin63