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数学基础的讨论主要在19世纪末20世纪初,当时对数学的看法有许多流派,其中一派是逻辑主义学派,认为数学可以完全由逻辑得到。但后来数理逻辑中的一些深刻结果(如Godel不完备性定理)则否定了这种观点。事实上,数学不能完全由逻辑得到,即,如果要求数学是无矛盾的,那么,它就不可能是完备的。现在对数学看法的主流是源于Hilbert的形式主义数学的观点。粗略地说,就是公理化的观点。也就是说,人们可以从实际出发(也可以从空想出发),给出一组无矛盾、不多余的公理,这种公理系统下就形成一种数学(如Hilbert本人在《几何基础》中做的那样)。在建立公理以后的事情则属于逻辑。形式主义和逻辑主义的主要区别即在于,逻辑主义把数学看做是有限的,可以从有限的逻辑规则中得到我们研究的全部数学;但形式主义则认为数学是可以无限扩充的(通过建立新的公理)。所以,逻辑是数学的重要方法和基础,但不是数学的全部。反过来,数学也不包括逻辑的全部。逻辑学主要是(至少曾经是)哲学的一支,它不仅研究逻辑命题的推演关系,也研究这种关系为什么是对的,等等。逻辑学中影响数学的主要是形式逻辑和数理逻辑,但涉及哲学思辨的部分就不在数学的范畴之中了。

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