《离散型随机变量的方差》课件VIP专享VIP免费

离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望，记为E(X)或μ．Xx1x2…xnPp1p2…pn其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝11、离散型随机变量的均值的定义一、复习(2)若X~B(n,p)，则E(X)＝np2、两个分布的数学期望(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p练习：1、已知100件产品中有10件次品，求任取5件产品中次品的数学期望。0.5说明：（1）这是几何分布的期望问题。（2）一般地，已知n件产品中有m件次品，求任取k件产品中次品的数学期望为E(x)=knm2.甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？X10123pk0.60.20.10.1E(X1)＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7一组数据的方差的概念：设在一组数据1x，2x，…，nx中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(xx，22)(xx，…，2)(xxn，那么nS12[21)(xx＋22)(xx＋…＋2)(xxn]叫做这组数据的方差二、离散型随机变量的方差与标准差对于离散型随机变量X的概率分布如下表，(其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1)Xx1x2…xnPp1p2…pn设μ＝E(X)，则(xi－μ)2描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均值μ的偏离程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋...＋(xn－μ)2pn称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2离散型随机变量X的标准差：σ＝)(XD甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？X10123pk0.60.20.10.1D(X1)＝0.6×(0-0.7)2＋0.2×(1-0.7)2＋0.1×(2-0.7)2＋0.1×(3-0.7)2＝1.01D(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2＋0×(3-0.7)2＝0.61乙的技术稳定性较好考察0－1分布X01P1－ppE(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p方差D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)标准差σ＝)1()(ppXD若X~B(n,p)，E(X)=np,则D(X)＝np(1－p)考察二项分布求一般离散型随机变量的方差根据离散型随机变量的分布列、期望、方差公式求解．已知X的分布列为例1X－101P121316(1)求E(X)，D(X)，σ(X)；(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．【解】(1)E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13；D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋(x3－E(X))2p3＝59；σ(X)＝DX＝59＝53.(2)E(Y)＝2E(X)＋3＝73，D(Y)＝4D(X)＝209.【误区警示】在(xi－E(X))2pi中，极易把(xi－E(X))2的平方漏掉．变式训练1已知随机变量ξ的分布列为ξ123Pp1p2p3且已知E(ξ)＝2，D(ξ)＝0.5，求：(1)p1，p2，p3；(2)P(－1<ξ<2)．解：(1)根据题意得p1＋p2＋p3＝1①p1＋2p2＋3p3＝2②p11－22＋p33－22＝12③由③得p1＋p3＝12，④上式代入①得p2＝12，代入②得p1＋3p3＝1，∴p3＝14，p1＝14.(2)P(－1<ξ<2)＝P(ξ＝1)＝p1＝14.确定是两点分布和二项分布后，直接用公式求解．某人投弹命中目标的概率为p＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．两点分布和二项分布的方差例2【思路点拨】投弹一次命中次数X服从两点分布，而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验，命中次数Y服从二项分布．【解】(1)X的分布列为：X01P0.20.8E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.8)，∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.变式训练2某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中胜场数ξ的期望和方差．解：比赛6场，即进行了6次独立重复试验．(1)P＝C36×133×1－133＝160729.(2)...