等比数列的定义及通项公式课件人教A版必修VIP免费

2．4等比数列2．4.1等比数列的定义及通项公式数列•1,2,4,8,16,32............•32,16,8,4,2,1............•-1，-2，-4，-8，-16..........•-16，-8，-4，-2，-1..........•1，-2,4，-8,16...................•-1,2，-4,8，-16..................•3，3，3,3,3,3...............•-1，-1，-1，-1,-1...................1．等比数列的定义公比如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的______等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q(q≠0)表示．2．等比数列的递推公式和通项公式通项公式：an＝________(n≥2)．列的通项an＝________.2比递推公式：anan－1＝__________(n≥2)；q练习1：已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数a1qn－13·2n－3学习目标预习导学典例精析栏目链接基础梳理4．(1)当a1＞0，q>1时，等比数列{an}是______数列；当a1＜0,0＜q＜1，等比数列{an}是______数列；当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列{an}是______数列；当a1＜0，q>1时，等比数列{an}是______数列；当a1＜0，q＜0时，等比数列{an}是______数列；当q＝1时，等比数列{an}是____数列．(2)判断下列等比数列是递增还是递减数列．①－3，－9，－27，…；②数列{an}的通项公式为an＝2n－3(n∈N*)．递增递增递减递减摆动常答案：①递减数列②递增数列3．等比中项的定义等比ab如果a，G，b成______数列，那么G叫做a与b的等比中项，有G2＝______或者表示成____________．练习2：2，x，y，z,18成等比数列，则y＝________.G＝±ab6【问题探究】．常数列一定为等比数列吗？答案：不一定，当常数列为非零数列时，才是等比数列，否则不是．题型1等比数列的基本概念a4的值．思维突破：要求a4可以先求an，这样求基本量a1和q的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决．【例1】在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求解：设此数列的公比为q，由已知，得a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54⇒a11＋q2＝10，①a1q31＋q2＝54.②由a1≠0,1＋q2≠0，②÷①，得q3＝18⇒q＝12⇒a1＝8.a4＝a1q3＝8×18＝1.【变式与拓展】15A1．在等比数列{an}中，a2014＝8a2011，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．82．(2013年广东)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝____.题型2等比数列的通项公式【例2】在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.解：a1＋a2＋a3＝7⇒a1(1＋q＋q2)＝7.a1a2a3＝8⇒a31q3＝8⇒a1q＝2.则a11＋q＋q2＝7，①a1q＝2.②由①÷②，得1＋q＋q2q＝72.求等比数列的通项公式关键是确定等比数列的首项和公比．解得q＝2或q＝12.当q＝2时，a1＝1；当q＝12时，a1＝4.故an＝2n－1或an＝4·12n－1＝2－n＋3.【变式与拓展】3．在等比数列{an}中，若公比为q＝4，且前3项的和等于21，则该数列的通项公式an＝______.4n－1题型3等比数列的判定【例3】在各项为负数的数列{an}中，已知：2an＝3an＋1，(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项；第几项；如果不是，说明理由．且a2·a5＝827.(2)试问：－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是解：(1)因为2an＝3an＋1，所以an＋1an＝23.故数列{an}是公比q＝23的等比数列．又a2·a5＝827，则a1q·a1q4＝827，即a21·235＝233.由于数列各项均为负数，则a1＝－32.所以an＝－32×23n－1＝－23n－2.(2)设an＝－1681，由等比数列的通项公式，得－1681＝－23n－2，即234＝23n－2.根据指数函数的性质，有4＝n－2，即n＝6.因此－1681是这个等比数列的第6项．判断一个数列是等比数列的常用方法：①定义法：an＋1an＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．②等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(n∈N*，且an≠0)⇔{an}为等比数列．③通项公式法：an＝a1qn－1(an≠0，且q≠0)⇔{an}为等比数列．[方法·规律·小结]1．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣定义是解决问题的关键．2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项a1，公比q为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与结论的联系，往往使很多问题更容易解决．3．等比中项在题目中会经常出现，因此要掌握好．