2.4等比数列2.4.1等比数列的定义及通项公式数列•1,2,4,8,16,32............•32,16,8,4,2,1............•-1,-2,-4,-8,-16..........•-16,-8,-4,-2,-1..........•1,-2,4,-8,16...................•-1,2,-4,8,-16..................•3,3,3,3,3,3...............•-1,-1,-1,-1,-1...................1.等比数列的定义公比如果一个数列从第______项起,每一项与它的前一项的______等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列;这个常数叫做等比数列的______,通常用字母q(q≠0)表示.2.等比数列的递推公式和通项公式通项公式:an=________(n≥2).列的通项an=________.2比递推公式:anan-1=__________(n≥2);q练习1:已知在等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数a1qn-13·2n-3学习目标预习导学典例精析栏目链接基础梳理4.(1)当a1>0,q>1时,等比数列{an}是______数列;当a1<0,0<q<1,等比数列{an}是______数列;当a1>0,0<q<1时,等比数列{an}是______数列;当a1<0,q>1时,等比数列{an}是______数列;当a1<0,q<0时,等比数列{an}是______数列;当q=1时,等比数列{an}是____数列.(2)判断下列等比数列是递增还是递减数列.①-3,-9,-27,…;②数列{an}的通项公式为an=2n-3(n∈N*).递增递增递减递减摆动常答案:①递减数列②递增数列3.等比中项的定义等比ab如果a,G,b成______数列,那么G叫做a与b的等比中项,有G2=______或者表示成____________.练习2:2,x,y,z,18成等比数列,则y=________.G=±ab6【问题探究】.常数列一定为等比数列吗?答案:不一定,当常数列为非零数列时,才是等比数列,否则不是.题型1等比数列的基本概念a4的值.思维突破:要求a4可以先求an,这样求基本量a1和q的值就成了关键,结合条件考虑运用方程思想解决.【例1】在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=54,求解:设此数列的公比为q,由已知,得a1+a1q2=10,a1q3+a1q5=54⇒a11+q2=10,①a1q31+q2=54.②由a1≠0,1+q2≠0,②÷①,得q3=18⇒q=12⇒a1=8.a4=a1q3=8×18=1.【变式与拓展】15A1.在等比数列{an}中,a2014=8a2011,则公比q的值为()A.2B.3C.4D.82.(2013年广东)设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=____.题型2等比数列的通项公式【例2】在等比数列{an}中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.解:a1+a2+a3=7⇒a1(1+q+q2)=7.a1a2a3=8⇒a31q3=8⇒a1q=2.则a11+q+q2=7,①a1q=2.②由①÷②,得1+q+q2q=72.求等比数列的通项公式关键是确定等比数列的首项和公比.解得q=2或q=12.当q=2时,a1=1;当q=12时,a1=4.故an=2n-1或an=4·12n-1=2-n+3.【变式与拓展】3.在等比数列{an}中,若公比为q=4,且前3项的和等于21,则该数列的通项公式an=______.4n-1题型3等比数列的判定【例3】在各项为负数的数列{an}中,已知:2an=3an+1,(1)求证:{an}是等比数列,并求出通项;第几项;如果不是,说明理由.且a2·a5=827.(2)试问:-1681是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是解:(1)因为2an=3an+1,所以an+1an=23.故数列{an}是公比q=23的等比数列.又a2·a5=827,则a1q·a1q4=827,即a21·235=233.由于数列各项均为负数,则a1=-32.所以an=-32×23n-1=-23n-2.(2)设an=-1681,由等比数列的通项公式,得-1681=-23n-2,即234=23n-2.根据指数函数的性质,有4=n-2,即n=6.因此-1681是这个等比数列的第6项.判断一个数列是等比数列的常用方法:①定义法:an+1an=q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列.②等比中项法:a2n+1=anan+2(n∈N*,且an≠0)⇔{an}为等比数列.③通项公式法:an=a1qn-1(an≠0,且q≠0)⇔{an}为等比数列.[方法·规律·小结]1.要注意利用等比数列的定义解题,在很多时候紧扣定义是解决问题的关键.2.注意基本量法:在用等比数列通项公式时,以首项a1,公比q为基本量,其他量用这两个量表示出来,再寻求条件与结论的联系,往往使很多问题更容易解决.3.等比中项在题目中会经常出现,因此要掌握好.