数学变形-裂项VIP免费

*裂项就是朝着一定方向变形。*裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”裂和型运算的题目不仅有，“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。一、基本裂项例1、计算1x22x33x44x598x9999x100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。1x2=(1x2x3-0x1x2)十(1x3)2x3=(2x3x4-1x2x3)十(1x3)3x4=(3x4x5-2x3x4)十(1x3)4x5=(4x5x6-3x4x5)十(1x3)扩大倍数=公差X因数加一98x99=(98x99x100-97x98x99)十(1x3)99x100=(99x100x101-98x99x100)十(1x3)将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为(99x100x101-0x1x2)十3。解：1x22x33x44x598x9999x100=(99x100x101-0x1x2)十3=333300下式：增大后减(裂差)(ijLx2+2x3+3x4十…斗但一l}x?i=MX+1)+J②Lx2x3+2x3x4+3x4x5+...+(??-2)x(ra-l)xw=1-L)?s(?s+1)+J例2、计算3x5+5x7+7x9++97x99+99x101例3、计算1x2x32x3x43x4x596x97x9897x98x99二、组合裂项例5、计算1x1+2x2+3x3++99x99+100x100分析：nxn=(n-1)xn+n解：1x1+2x2+3x3++99x99+100x100=1+(1x2+2)+(2x3+3)++(98x99+99)+(99x100+100)=(1x2+2x3++98x99+99x100)+(1+2+3++99+100)=99x100x10“3+(1+100)x100^2=333300+5050=338350例6、计算1x2+3x4+5x6++9x98+99x100分析：(n-1)xn=(n-2)xn+n左式：缩小后加（裂和）解：1x2+3x4+5x6+x8++9x98+99x100=2+(2x4+4)+(4x6+6)+(6x8+8)++(96x98+98)+(98x100+100)=(2x4+4x6+6x8++96x98+98x100)+(2+4+6+8++98+100)=98x100x102^6+(2+100)x50^2=169150例7、计算1x1x1+2x2x2+3x3x3++99x99x99+100x100x100分析：nxnxn=(n-1)xnx(n+1)+n更神奇的“倒推”解：1x1x1+2x2x2+3x3x3++99x99x99+100x100x100=1+(1x2x3+2)+(2x3x4+3)++(98x99x100+99)+(99x100x101+100)=(1x2x3+2x3x4++98x99x100+99x100x101)+(1+2+3++99+100)=99x100x101x102^4+(1+100)x100m2=25492400例8、计算1X3+2XD+3X5+DX6+DD+98X100+99X101解：1X3+2XQ+3X5+0X6+00+98X100+99X101(奇偶数项分开)=(1X3+3X5+00+99X101)+(2XQ+QX6+DD+98X100)=(99X101X103-1X3X5)=6+1X3+98X100X102=6=171650+166600=338250例9、计算1+(1+2)+(1+2+3)+DD+(1+2+3+D+DD+100)解：1+(1+2)+(1+2+3)+DQ+(1+2+3+D+DD+100)=1X2=2+2X3=2+3X哄2+0+100x101^2(高斯新解：101为均数的两倍)=(1X2+2X3+3XQ+DQ+100X101)=2=(100X101X102=3)=2=171700if+ir(fb1ab=专=—专一十|ax*axidtx/>ba三、分数裂项一2讎”型廷算」⑴対于分聞以写作两个鯛輙的分如即岛形式的，这里我们杷较小的数写在前卧肌如那么有axi?b—aab⑵对于分毋上为■?：亍或4连连续自然数乘枳形式的分数，即：*下面常数：其分母即裂项后的裂差分子，或叫连续自然数乘积的差）!=-=(—!!—”Kx(?i4-l}x(?i+2)2MX1}(H4-l)(ji4-2)=-[]卫Kx+1)x(K+2)x(M-；-3)3?ix(ji4-l)x2)(n4-1.)x+2)x3)（二2裂和11型运算：d常见的裂和型运算主要有以下两种形式:卩八沁卫+白ab11m页m_品飞壮{2}裂和型运算与裂羡型运算的对比7a裂羡型运星的核心环节是“两两抵消达到简化的目的珥裂和型运負的题旦不仅有“两两抵消”型的症同时还有转化拘耶分數凑整卩型的，以达到简化目的处屮例题一：1/12+1/23+1/34++1/99100=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/98-1/99)+(1/99-1/100)=1-1/100=99/100例二：1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+1/(4*5*6)+1/(21*22*23)=【(1/1*2-1/2*3)+(1/2*3-1/3*4)+(1/3*4-1/4*5)+(1/4*5-1/5*6)++(1/21*22-1/22*23)】*1/2=【1/(1*2)-1/(22*23)】*1/2=126/253*1/2=63/253