BFx+3•所以BF=—(x+3)・168直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析4例❶如图1T,在AABC中，AB=AC=10,cosZB=.D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止.过E作EF//AC交AB于F,连结DF.设BD=x,如果△BDF为直角三角形，求x的值.【解析】ABDF中，ZB是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况.如果把夹ZB的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.如图1-2,作AH丄BC,垂足为H,那么H是BC的中点.4在RtAABH中，AB=10,cosZB=—,所以BH=8.所以BC=16.5BFBE由EF//AC，得工=,即BABC10BD——①如图1-3,当ZBDF=90°时，由cosZB==-,得BD=-BF.BF55-5解方程x=—x—(x+3),得x=3.58BF——②如图1-4,当ZBFD=90°时，由cosZB==-,得BF=-BD.BD55515-75解方程—x+巴=—x,得x=75.88—7我们看到，在画示意图时，无须受到厶ABC的“限制”，只需要取其确定的ZB.图1-图1-图1-图1-例❷如图2-1,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4MA=1，MB〉1•以A为中心顺时针旋点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成图2-1【解析】AABC的三边长都可以表示出来，AC=1,AB=x,BC=3—x.如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC为斜边，则1=x2+(3-x)2，即x2-3x+4=0，此方程无实根.②若AB为斜边，则x2=(3—x)2+1，解得x=*(如图2-2).③若BC为斜边，则(3-x)2=1+x2，解得x=牛(如图2-3).54因此当x=-或x=4时，AABC是直角三角形.33图2-2图2-3例❸如图3-1,已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0)，点B是点A关于原点的对称点,【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种情况.如果线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点.以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点.如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点.由题意，得点B的坐标为(2,0),且ZBAP不可能成为直角.①如图3-2，当ZABP=90。时，点P的坐标为(2,1).②方法一：如图3-3，当ZAPB=90。时，0P是RtAAPB的斜边上的中线，OP=2.24l__设P(x,—),由0P2=4,得x2+=4.解得x=±J2.此时P(•迈，•迈).xx2△ABC,设AB=x,若AABC为直角三角形，求x的值.r.竺=QH所以2=OQHAm1QH=AG所以4-m=2图3-2方法二：由勾股定理，得PA2+PB2=AB2.解方程(X+2)2+(―)2+(x+2)2+(―)2=42，得x=土、;2.XX方法三：如图3-4，由厶AHPS^PHB,得PH2=AH・BH.2._解方程(一)2=(x+2)(2-x)，得x=±、辽.X=■■'2,x=x=—辽，它的几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P'两点(如图3-5).34例❹如图4-1,已知直线y=kx—6经过点A(1,—4)，与x轴相交于点B.若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标.图4-1【解析】和例题3—样，过A、B两点分别画AB的垂线，各有1个点Q.和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然.而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的.将A(1,—4)代入y=kx—6，可得k=2.所以y=2x—6,B(3,0).设OQ的长为m.分三种情况讨论直角三角形ABQ：①如图4-2，当ZAQB=90。时,△BOQS^QHA,解得m=l或m=3.所以Q(0,—1)或(0,—3).②如图4-3，当ZBAQ=90。时，△QHAS^AGB,图3-图3-图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x2-2)2=0.这个四次方程的解是x...
