D7_4一阶线性微分方程VIP免费

目录上页下页返回结束一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程第七章目录上页下页返回结束一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPCyd)(e称为齐次方程;目录上页下页返回结束xxPCyd)(e对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换xxPuxPd)(e)(CxxQuxxPde)(d)(两端积分得目录上页下页返回结束例1.解方程解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得即2)1(xCy用常数变易法求特解.,)1()(2xxuy则)1(2)1(2xuxuy代入非齐次方程得解得Cxu23)1(32故原方程通解为令目录上页下页返回结束在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例2.有一电路如图所示,电阻R和电∼LERQ解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri经过L的电压降为tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始条件:00ti由回路电压定律:其中电源求电流感L都是常量,目录上页下页返回结束解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始条件:00ti得C利用一阶线性方程解的公式可得∼LERQ目录上页下页返回结束tLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRL因此所求电流函数为解的意义:∼LERQ目录上页下页返回结束0d2d3yyxyyxx例3.求方程的通解.解:注意x,y同号,,d2d,0,xxxyx此时不妨设yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式,得exe1(y故方程可变形为y1lndCy所求通解为)0(eCCyyx这是以x为因变量y为自变量的一阶线性方程目录上页下页返回结束*二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束例4.求方程的通解.解:令,1yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1yzxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:目录上页下页返回结束内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd,1nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程目录上页下页返回结束3.注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如,解方程yxxy1ddyxyxdd,yxu,xuy1ddddxuxy法1.取y作自变量:线性方程法2.作变换则代入原方程得,11dduxuuuxu1dd可分离变量方程目录上页下页返回结束思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示:xxyyydd1可分离变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程目录上页下页返回结束P3151(3),(6),(9);2(5);6;*8(1),(3),(5)作业第五节习题课1目录上页下页返回结束备用题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f线性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出目录上页下页返回结束2.设有微分方程,)(xfyy其中)(xf10,2x1,0x试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题10,2xyy00xy利用通解公式,得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用00xy得21C故有)10(e22xyx目录上页下页返回结束2)再解定解问题1,0xyy11e22)1(yyx此齐次线性方程的通解为)1(e2xCyx利用衔接条件得)1(e22C因此有)1(e)1(e2xyx3)原问题的解为y10),e1(2xx1,e)1(e2xx)10(e22xyx