课时作业11反证法时间：45分钟满分：100分一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)1．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个是偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数【答案】B2．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是()A．没有一个是三角形或四边形或五边形的面B．没有一个是三角形的面C．没有一个是四边形的面D．没有一个是五边形的面【答案】A【解析】“至少有一个”的反面是“一个也没有”．3．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A．a＋>b＋B.>C．a＋>b＋D.>【答案】A【解析】可通过例举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．4．若x，y>0且x＋y>2，则和的值满足()A.和中至少有一个小于2B.和都小于2C.和都大于2D．不确定【答案】A【解析】假设≥2和≥2同时成立．因为x>0，y>0，∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，这与x＋y>2相矛盾，因此和中至少有一个小于2.5．设a、b、c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【答案】D1【解析】a＋＋b＋＋c＋＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋) a、b、c都是正数∴a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2，∴a＋＋b＋＋c＋≥6∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.6．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的否定为：没有实根．7．x、y、z中至少有一个不小于1的含义是()A．都大于等于1B．有1个、2个或3个大于等于1C．都小于1D．以上都不对【答案】B二、填空题(本大题共3个小题，每小题7分，共21分)8．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是______．【答案】存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．9．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个不小于________．【答案】【解析】假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，与已知条件矛盾．a，b，c中至少有一个不小于.10．用反证法证明命题“若p1p2＝2(q1＋q2)，则关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，假设为____________．【答案】两个方程都没有实数根三、解答题(本大题共3个小题，11,12题每小题14分，13题16分，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．【证明】假设{cn}为等比数列，则当n≥2时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)，所以a＋2anbn＋b＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1.设{an}，{bn}的公比分别为p，q(p≠q)．因为a＝an－1·an＋1，b＝bn－1·bn＋1，所以2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1＝·bn·q＋·an·p，所以2＝＋.因为当p≠q时，＋>2或＋≤－2，与＋＝2矛盾，所以{cn}不是等比数列．【规律方法】当结论为否定形式时，通过反设，转化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便．212．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.【证明】假设bc＝0，下面分情况进行讨论：(1)若b＝0，c＝0，则方程变为x2＝0，此时方程有两个相等的实数根为x1＝x2＝0，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，则方程变为x2＋c2＝0，此时方程无实数根，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b≠0，c＝0，则方程变为x2＋bx＝0，此时方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．综上所述，假设错误．所以当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.13．求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．【证明】不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b...
