3.3.1函数的单调性与导数一、选择题1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递减区间是()A．(－∞，0)B．(0,2)C．(－∞，2)D．(2，＋∞)[答案]B[解析]f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x<0，解得00在(－∞，＋∞)上恒成立．3．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在(0，)上是减函数，在(，6)上是增函数D．在(0，)上是增函数，在(，6)上是减函数[答案]A[解析] f′(x)＝1＋>0，∴函数在(0,6)上单调递增．4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()[答案]C[分析]由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C．5．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是()A．y＝2－3x2B．y＝lnxC．y＝D．y＝sinx[答案]C[解析]A中，y′＝－6x，当－10，当00对x∈(－1，1)恒成立，∴函数y＝sinx在(－1,1)上是增函数．6．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)[答案]D[解析]由条件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．二、填空题7．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为________.[答案](－∞，－)，(1，＋∞)[解析] y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，∴由y′>0得，x>1或x<－.8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝________，c＝________.[答案]－3－9[解析]f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由条件知，即，解得b＝－3，c＝－9.9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.[答案](－∞，0][解析] f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴解得a≤0，故答案为(－∞，0]．三、解答题10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1) 函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.②解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)>0，可得x<－3或x>；令f′(x)<0，可得－3f(b)D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定[答案]C[解析]f′(x)＝()′＝＝.当x<1时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数， af(b)．3.定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是()A．f(0)＋f(2)>2f(1)B．f(0)＋f(2)＝2f(1)C．f(0)＋f(2)<2f(1)D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定[答案]C[解析]当x>1时，f′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(1)>f(2)．当x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，∴f(0)
