（江苏专用）高考数学总复习 必做题专题4 离散型随机变量的分布列、均值与方差试题（含解析）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题4离散型随机变量的分布列、均值与方差【三年高考】1.【2017江苏，理23】已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(,*,2mnnN≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,mn的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(1,2,3,,)kmn．123mn（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()EX是X的数学期望，证明：()()(1)nEXmnn．【答案】（1）nmn；（2）见解析．试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：11CCnmnnmnnpmn．（2）随机变量X的概率分布为X1n11n12n…1k…1mn1P11CCnnnmn1CCnnnmn11CCnnnmn…11CCnknmn…11CCnnmnmn随机变量X的期望为11C111(1)!()CC(1)!()!nmnmnknnknknmnmnkEXkknkn．所以1(2)!1(2)!()C(1)!()!(1)C(2)!()!mnmnnnknknmnmnkkEXnknnnkn222121(1CCC)(1)Cnnnnnmnnmnn12221121(CCCC)(1)Cnnnnnnnmnnmnn12221(CCC)(1)Cnnnnnmnnmnn12221(CC)(1)Cnnmnmnnmnn11C(1)C()(1)nmnnmnnnmnn，即()()(1)nEXmnn．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问2题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XBnp)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()EXnp)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．2.【2014江苏，理22】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,xxx，随机变量X表示123,,xxx的最大数，求X的概率分布和数学期望()EX.【答案】（1）518；（2）20()9EX.【解析】（1）由题意22243229518CCCPC；（2）随机变量X的取值可能为2,3,4，44491(4)126CPXC，313145364913(3)63CCCCPXC，11(2)1(3)(4)14PXPXPX，所以X的分布列为13120()21434631269EX.3．【2012江苏，理22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱X234P1114136311263相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．【答案】(1)411．(2)ξ012P(ξ)41161111162()11E【解析】解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有238C对相交棱，因此232128C834(0)C6611P.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故21261(2)C11P，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝4161111111，所以随机变量ξ的分布列是ξ012P(ξ)411611111因此6162()12111111E.4．【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理...