2-10变化率与导数、导数的计算课时规范练(授课提示：对应学生用书第235页)A组基础对点练1．(2018·咸阳期末)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)可导，且lim＝1，则f′(a)＝(D)A.B．2C．3D．解析： lim＝1，∴·lim＝1，即f′(a)＝1，则f′(a)＝，故选D.2．(2017·云南师大附中考试)曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln2＋y－1＝0，则a＝(A)A.B．2C．ln2D．ln3．(2016·山东济南模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝(B)A．－eB．－1C．1D．e4．(2016·贵州贵阳模拟)曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则的值为(D)A．－B．－C.D．5．(2018·襄城区校级一模)已知f(x)＝sinx－2cosx，实数α满足(f(α))′＝3f(α)，则tan2α＝(A)A．－B．C．－D．解析：由于函数f(x)＝sinx－2cosx，(f(α))′＝3f(α)，则0＝3(sinα－2cosα)，则sinα＝2cosα，可得tanα＝2，因此，tan2α＝＝＝－，故选A.6．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(A)A．y＝x3－xB．y＝x3－xC．y＝x3－xD．y＝－x3＋x7．(2017·山东潍坊模拟)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(B)A．－1B．0C．2D．48．设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为(B)9．(2018·达州四模)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，对一切x∈R，f(x)≥0，又f′(0)＞0，则的最小值是(A)A．2B．2.5C．3D．4解析： f(x)＝ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＞0， 对任意实数x都有f(x)≥0，∴a＞0，c＞0，b2－4ac≤0，即≥1，则＝＝1＋，而2＝≥≥1，当且仅当a＝c＝b时取等号．∴＝＝1＋≥2， 的最小值为2.故选A.10．(2017·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(B)A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝011．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为5x＋y＋2＝0.解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.12．(2018·商洛模拟)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．解析：若x＝0时，不等式x·f′(x)＜0不成立．若x＞0，则不等式x·f′(x)＜0等价于f′(x)＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1.若x＜0，则不等式x·f′(x)＜0等价于f′(x)＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜－1.故不等式x·f′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．13．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝8.解析： y＝x＋lnx，∴y′＝1＋，y′＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.14．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为y＝4x－3.解析：y′＝3lnx＋1＋3＝3lnx＋4，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.15．(2018·南开区一模)若曲线y＝ex＋e－x的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为ln2.解析： f(x)＝ex＋e－x，∴f′(x)＝ex－e－x，设切点的横坐标为x0，可得ex0－e－x0＝，整理可得2(ex0)2－3ex0－2＝0，解得ex0＝2或ex0＝－(舍去)，∴x0＝ln2.16．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为3.解析：由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，则得f′(0)＝3.B组能力提升练1．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(A)A．y＝x3－x2－xB．y＝x3＋x2－3xC．y＝x3－xD．y＝x3＋x2－2x2．已知函数f(x)＝ex...
