课时分层作业(三)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是()A．aB．bC．cD．a＋bC[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则B1M可表示为()A．a＋b＋cB．a－b＋cC．－a－b＋cD．－a＋b＋cD[由于B1M＝B1B＋BM＝B1B＋(BA＋BC)＝－a＋b＋c，故选D.]3．若向量MA，MB，MC的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA，MB，MC成为空间一个基底的关系是()A．OM＝OA＋OB＋OCB．MA≠MB＋MCC．OM＝OA＋OB＋OCD．MA＝2MB－MCC[若MA，MB，MC为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为＋＋＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，MA≠MB＋MC，但可能存在实数λ，μ使得MA＝λMB＋μMC，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN为()A．a－b＋cB．－a＋b＋cC．a＋b－cD．a＋b－cB[MN＝MA＋AB＋BN＝OA＋OB－OA＋(OC－OB)＝－OA＋OB＋OC＝－a＋b＋c.]15．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于()A．5B．6C．4D．8A[在平行六面体ABCDA1B1C1D1中有，AC1＝AB＋AD＋CC1＝AB＋AD＋AA1所以有|AC1|＝|AB＋AD＋AA1|，于是有|AC1|2＝|AB＋AD＋AA1|2＝|AB|2＋|AD|2＋|AA1|2＋2|AB|·|AD|·cos60°＋2|AB|·|AA1|·cos60°＋2|AD||AA1|·cos60°＝25，所以|AC1|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.(用a，b，c表示)a＋b＋c[因为在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点E为AD的中点，所以OE＝(OA＋OD)＝OA＋OD＝a＋×(OB＋OC)＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.]7．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________．4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)[由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)则有解得则m在基底{a＋b，a－b,3c}可表示为m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．]8．在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，PA＝a，PB＝b，PC＝c，试用基底{a，b，c}表示向量PG＝________.a－b＋c[因为BG＝2GD，所以BG＝BD.又BD＝BA＋BC＝PA－PB＋PC－PB＝a＋c－2b，所以PG＝PB＋BG＝b＋(a＋c－2b)＝a－b＋c.]三、解答题9.如图所示，正方体OABCO′A′B′C′，且OA＝a，OC＝b，OO′＝c.2(1)用a，b，c表示向量OB′，AC′；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH.[解](1)OB′＝OB＋BB′＝OA＋OC＋OO′＝a＋b＋c.AC′＝AC＋CC′＝AB＋AO＋AA′＝OC＋OO′－OA＝b＋c－a.(2)法一：连接OG，OH(图略)，则GH＝GO＋OH＝－OG＋OH＝－(OB′＋OC)＋(OB′＋OO′)＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．法二：连接O′C(图略)，则GH＝CO′＝(OO′－OC)＝(c－b)．10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，MA＝－AC，ND＝A1D，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN.[解]连接AN，则MN＝MA＋AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得AC＝AB＋AD＝a＋b，MA＝－AC＝－(a＋b)，又A1D＝AD－AA1＝b－c，故AN＝AD＋DN＝AD－ND＝AD－A1D＝b－(b－c)，所以MN＝MA＋AN＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．11．(多选题)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2a3C．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－cABD[对于A，因为2a＝(a－b)＋(a＋2b)，得2a、a－b、a...
